1、「直徑所對的圓周角」應用舉例；2、「化斜為直」來解題
3、猜想、論證問題兩例； 4、反比例函式實際應用例析
5、反比例函式與一次函式解題指導； 6、概率試題解題策略
7、聚焦《頻率與概率》中考； 8、利用事件的頻率求概率
9、用好反比例函式中係數k的幾何意義
10、與「摸球」有關的概率題； 11、建立反比例函式模型解題
12、求事件概率的常用方法； 13、圓的切線判別方法例析
14、等腰三角形的底角平分線引出的開放型試題
15、「圓」的探索性問題兩例
學習了直徑所對的圓周角等於90°，我們可以用來解決一些求值、說理證明等問題．
一、計算問題
例1．如圖1，已知ab是⊙o的直徑，∠c=25°，求∠abd的度數．
分析：要求∠abd的度數，由於ab是⊙o的直徑，根據直徑所對的圓周角等於90°，所以可連線ad，得到∠adb=90°，再根據∠a=∠c=25°，可求到∠abd的度數．
解：連線ad，因為ab為⊙o的直徑，
所以∠adb=90°．
又∠a=∠c=25°，
所以∠abd=90°－25°=65°．
二、證明問題
例2．如圖2，已知ab是⊙o的直徑，弦ac、bd相交於p，求證：cos∠bpc＝．
圖2分析：由圓周角定理易證△dcp∽△abp，所以有＝，再由ab是直徑，想到鏈結bc，得rt∠pcb，從而得直角三角形，再利用三角形函式知識求解．
證明：鏈結bc，∵ ab是直徑，∴ ∠acb＝90°．
在rt△pcb中，cos∠bpc＝．
根據同弧所對的圓周角相等，有∠d＝∠a，∠acd＝∠abd，
∴△dcp∽△abp， ∴＝，
∴ cos∠bpc＝．
點評：本題是一道三角形函式與圓的綜合題，解答本題的關鍵是利用相似三角形中的比例線段把轉化為，從而使問題解決．
2、「化斜為直」來解題
例1．如圖所示，已知：在△abc中，∠a＝60°，∠b＝45°，ab＝8. 求：△abc的面積(結果可保留根號).
【析解】 過c作cd⊥ab於d，
在rt△adc中，∵∠cda＝90°
∴＝cot∠dac＝cot60°＝，即ad＝cd
在rt△bdc中，∵∠b＝45° ∴∠bcd＝45° ∴cd＝bd
∵ab＝db＋da＝cd＋ cd＝8 ∴cd＝12－4
∴s△abc＝×ab×cd＝×8×(12－4)＝48－16．答：（略）
例 2．由山腳下的一點a測得山頂d的仰角是45°，從a沿傾斜角為30°的山坡前進1500公尺到b，再次測得山頂d的仰角為60°，求山高cd。
【析解】過點b作cd、ac的垂線，垂足分別為e、f．
在rt△abf中，∠bac＝30°，ab＝1500公尺，∴bf＝ec＝750公尺， af＝750公尺；
設fc＝公尺，在rt△bde中，∠dbe＝60°， ∴ de＝公尺，
又∵∠dac＝45°， ∴ac＝cd，即：750＋＝750＋，解得＝750
∴cd＝（750＋750）公尺．
答：山高cd為（750＋750）公尺．
點評：這兩例通過新增適當的輔助線（高線）把問題轉化為解直角三角形的數學模型，例2還通過從題目的條件和要求問題中尋求等量關係，構造出方程來求解．
3、猜想、論證問題兩例
猜想與合情推理是近幾年中考流行的一大熱點題型，也是新課標的主要內容之一。解答這類問題的一般方法是通過觀察、分析所給的現象，探索、尋找隱含的規律，大膽合理地猜想，最後以推理來驗證所猜想結論的正確性．
一、模擬猜想
例1．已知：如圖1， ab⊥bd，cd⊥bd，垂足分別為b、d，ad和bc相交於點e， ef⊥bd，垂足為f，我們可以證明成立（不要求考生證明）
若將圖1中的垂直改為斜交，如圖2，ab//cd，ad、bc相交於點e，過點e作ef//ab，交bd於點f，則
（1）還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請給出理由。
（2）請找出，和間的關係式，並給出證明。
析解：（1）成立．
∵ ab∥ef，∴＝，
∵ cd∥ef， ∴＝，
∴＋＝＋＝＝1，
∴＋＝．∴ 成立．
（2）關係式為：．
證明：分別過a作am⊥bd於m，過e作en⊥bd於n，過c作ck⊥bd交bd的延長線於k。
由題設可得，
,∵，；
∴．【點評】本題有兩點值得回味：①是通過閱讀可以發現，題中蘊含著模擬猜想的思想方法，因而易猜想關係式仍成立；②是有一處伏筆「不要求我們證明」，具有一定的迷惑性，因為論證猜想是否成立，還需用「同樣的方法」。因而易猜想關係式仍成立，並可猜想成立。
二、極端化猜想
例2．如圖3，正三角形abc的中心o恰好為扇形ode的圓圓心，且點b在扇形內。要使扇形ode繞點o無論怎樣轉動，△abc與扇形重疊部分的面積總等於△abc的面積的，扇形的圓心角應為多少度？並請說明你的理由。
析解：此例是給出結論（△abc與扇形ode重疊部分的面積總等於△abc的面積的），要探索結論成立的條件（扇形的圓心角應等於多少度），在此，我們要善於從特殊情況中去探索扇形圓心角的度數。為此，可鏈結oa，ob，則，所以當扇形ode的半徑od、oe分別與oa、ob重合時，△abc與扇形重疊部分的面積等於△abc的面積的。
又因為∠aob＝120°，所以我們可以猜想：當扇形的圓心角為120°時，△abc與扇形重疊部分的面積等於△abc面積的。
下面予以證明：要證明上述猜想正確，只需證明即可。為此，只需證明△aof≌△bog就行。
∵ ∠oaf＝∠obg，oa＝ob，∠aof＝120°－∠bof＝∠fog－∠bof＝∠bog，
∴ △aof≌△bog； ∴．
綜上所述可知，當扇形ode的圓心角為120°時，△abc與扇形重疊部分的面積總等於△abc的面積的。
4、反比例函式實際應用例析
反比例函式在現實生活特別是在跨學科知識中具有十分重要的應用，此類題在各級考試試題中多以選擇、填空題的性質出現，有時也以簡答題的形式出現，現選取幾例說明這類問題的求解方法．
一、根據實際問題寫出函式解析式
以物理中的物理現象與定律為背景，考查反比例函式的解析式、圖象與性質，在近兩個的多個省市的中考試題**現，以加強學科聯絡，提高學生的綜合能力。
例1、近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25 m，則y與x的函式關係式為
【分析】本例考查利用待定係數法確定函式解析式。試題已告訴是反比例函式，及一組對應資料．
解：設反比例函式解析式為：y＝，依題意得：400＝，解之得＝100．
所以，y與x的函式關係式為：．
例2．某種蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流 i（a）與可變電阻 r（ω）之間的函式關係如圖1所示，當用電器的電流為10a時，用電器的可變電阻為
圖1【分析】因為電流 i（a）與可變電阻 r（ω）之間是反比例函式關係，因此根據圖象可確定函式解析式．
解：設反比例函式解析式為：，由圖象過（9，4）可求得解析式為：，
所以當i＝10a時，r＝3.6．所以填3.6ω．
二、根據實際問題的特徵確定函式圖象
例3、已知矩形的面積為24，則它的長所寬之間的關係用圖象大致可以表示為（ ）
解析：由矩形的面積公式可知在矩形的面積為24時，長與寬的之間的關係式為24=，由進一步可得=．則知是的反比例函式．又因矩形的寬不能為負數，故知表示該矩形的面積和長、寬關係的影象如圖（d）所示．
5、反比例函式與一次函式解題指導
反比例函式與一次函式結合的綜合型問題是中考常考題型，下面列舉幾例加以說明．
一、交點型
例1．已知：反比例函式＝和一次函式＝2－1，其中一次函式的圖象經過點（，5）．
（1）試求反比例函式的解析式；
（2）若點在第一象限，且同時在上述兩函式的圖象上，求點的座標．
析解：（1）因為一次函式＝2－1的圖象經過點（，5），
所以有5＝2－1，解得＝3.
所以反比例函式的解析式為＝.
（2）由題意得：，
解這個方程組得：；，
因為點在第一象限，則＞0，＞0，
所以點的座標為（，2）．
二、求的值型
例2．(福州市)如圖1，已知直線與雙曲線交於兩點，且點的橫座標為．求的值；
析解：∵點a橫座標為4 , ∴當＝4時，＝2 .
∴ 點a的座標為（ 4，2
∵ 點a是直線與雙曲線的交點 ,
∴＝4×2＝8
三、求圖形的面積型
例3．如圖2，正比例函式= (>0)與反比例=的圖象相交於兩點a、c，過點a作軸的垂線，交軸於點b，鏈結bc，若△abc的面積為s，則（ ）
a．s=1 b．s=2 c．s=3 d．無法計算．
析解：點a上反比例函式圖象上的點，
根據反比例函式的幾何性質，可得＝，
過點c作cd⊥軸的垂線，因反比例函式圖象是關於原點的中心對稱圖形，∴cd＝ab．
∴s△obc＝，∴＝2＝1．故選（a）．
四、圖象共存型
例4 （黑龍江）如圖，函式與在同一座標系內的圖象大致是（ ）
析解：該例綜合考查反比例函式與一次函式的圖象和性質以及分類討論的數學思想．根據的正負性分類討論可知：時，雙曲線分別在
一、三象限；直線過
一、二、三象限．時，雙曲線分別在
二、四象限；直線過
二、三、四象限．綜上所述，選項ｂ是正確的．
6、概率試題解題策略
在實際生活中，我們經常來描述一件事情發生可能性的大小，表示乙個事情發生的可能性的大小的這個數，叫做概率．為了幫助大家學好這一節，以便更好地利用概率解決實際問題，現舉幾例如下．
一、通過計數算概率
例1、（南充市）某商場舉行「慶元旦，送驚喜」 **活動，10000個獎券中設有中獎獎券200個．
（1）小紅第乙個參與**且抽取一張獎券，她中獎的概率有多大？
（2）元旦當天在商場購物的人中，估計有2000人次參與**，商場當天準備多少個獎品較合適？
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