江蘇省無錫市王華民數學名師工作室
讓數學史真正融入概念教學中
——由一堂「對數」概念課引發的思考
江蘇省太湖高階中學侯斌無錫市濱湖區教研發展中心王華民
高中數學課程目標之一：獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會…．數學概念是學生認知的基礎，是學生開展思維活動的重要載體．章建躍先生提出必須十分重視概念教學，尤其是核心概念的教學．怎樣設計、組織教學，有利於學生更好地理解概念？值得每位教師思考．
事實上，數學概念並非憑空而來．今天我們所學的數學概念，大都有著各自產生的背景和發展演變的過程，其間凝聚著無數數學家們的心血和智慧型．正如美國著名數學家莫里斯.克萊因在其名著《古今數學思想》的序言中所寫：「課本中的斟字酌句的敘述，都不能表現出創造過程中的鬥爭、挫折，以及在建立乙個可觀的結構之前，數學家們所經歷的艱苦漫長的道路．學生一旦認識到這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣，並且不會因為他自己的工作並非完美無缺而感到頹喪．」這番話詮釋了將數學史融入數學教學的意義，也為概念教學指明了方向．我們聽了無錫市青山中學顧慧老師的一堂「對數」概念課，感觸很深，欲與同行交流．
一、課堂摘錄
1計算引入（教師出示四道計算題，學生自主完成）
計算：（1）32×2562）4096÷128=
（3）1644）=
學生回答（略）．
【設計意圖】 讓學生體驗大數乘除計算的繁雜性，為引入對數概念埋下伏筆．
2 對數發明的背景
教師介紹：16世紀前半葉，歐洲人熱衷於地理探險和海洋**．需要更為準確的天文知識，對計算速度和準確性的要求也與日俱增，人們希望將乘除法歸結為簡單的加減法．
3 對數產生的前奏
讓學生觀察兩個數列，並找出規律：
生答：前一排數設為n，則後一排數可以表示為．
教師肯定後向學生介紹：德國數學家史提非在觀察上述兩個數列時，稱上排的數為「指數」，下排的數為「原數」．史提非發現，上一排數之間的加、減運算結果與下一排數之間的乘、除運算結果有一種對應關係，即假定我們想求下一排任兩個數之積，只要計算與這兩個數對應的上一排的數之和就行了．
師：根據以上敘述，能否簡化運算，師生共同完成如下．
（1）32×256=； （2）4096÷128=；
（3）； （4）．
【設計意圖】教師提供歷史背景和原始問題，增強真實感，讓學生體會運算級別的降低使得運算更為簡便．
教師故意提問：那麼36×365呢，能否用上述**來進行簡化運算？
學生開始議論，很多學生都對上述簡便運算的價值提出了質疑．有同學認為簡化運算的實質是是把乘除和乘方、開方轉化成2的指數冪的加減法運算，而36，365不能表示為2的整數次冪，上述簡化運算就失效了．
教師追問：36和365能否表示成2的若干次冪的形式？
學生面面相覷，不知道．
教師利用《幾何畫板》的測算功能後，師生共同發現，計算5.16993+8.51175=13.68618，通過計算器求得=13181.0712，而36×365=13140.
師：資料的差異取決於近似計算的精確度，與運算的本質無關．
生：按照這樣的思路我們只需製作一張包含足夠多數字的**，就能算出各種各樣數字的乘除和開方、乘方運算了．
師：經過剛才的**，可以斷定這種方法是可行的．我們可以不斷地完善**中的資料，實際上在17世紀許多人為了製作這樣一張精確的**而奉獻了自己畢生的精力．
教師歸納：此法可推廣到任何二個數的乘除運算，並不僅僅限於以2為底．比如計算36×365，設36＝，365＝，則36×365＝＝．
【設計意圖】通過具體演算，使學生體會引進對數的必要性．
4 對數的產生
師：把我們的發現上公升為一種全新的理論．對於一般的，且，若已知a和n需要求出指數x，則記為，我們把x稱作以a為底n的對數，其中a叫做底數，n叫做真數．如： 365.
師：根據對數的定義，請問對數的含義是什麼?
生：它的含義是a的多少次方是n．
師：對數與指數有什麼關係?
生：對數與指數可以相互轉化，即，且．
教師介紹納皮爾為對數的產生所做的巨大貢獻．布里格斯發表第一張常用對數表，對數表這一驚人發明很快傳遍了歐洲大陸．克卜勒利用對數表簡化了行星軌道的複雜計算．伽利略發出了豪言壯語：「給我時間、空間和對數，我可以創造出乙個宇宙來．」數學家拉普拉斯說：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」．對數表曾在幾個世紀內為數學家、會計師、航海家和科學家廣泛使用．
至此，本節課的重點即對數的概念已經產生，由於數學史的融入，使得學生產生無盡的遐想．
5. 數**用（略）
二、點評與感悟
縱觀當下不少數學課堂，對數學史的滲透比較粗淺．如不少教師的數學史應用還停留在講故事的層次，在教學中穿插一些數學家的故事和言行，這樣的介紹對了解數學的歷史，激發學生興趣有一定的幫助，但它既沒有展現數學概念本身的產生、變化和發展，也沒有表現出數學家們在創造過程中的挫折與鬥爭，因此，它無助於學生對概念的理解，當然不能打動學生，也難以激發學生求知的慾望和探索的激情．這樣的數學史應用只是一種介紹型，還談不上將數學史融入數學課堂．
本節課是蘇教版必修1第3.2節《對數函式》的第一課時，安排在指數函式後、對數函式前，因此對數概念是指數概念、指數函式的深化和延續，又是對數函式的基礎，其主要功能是簡化運算. 但「對數」是乙個比較抽象的概念，為高中數學最難理解的概念之一．如何揭開抽象概念那「冰冷美麗」的面紗？
讓數學史真正融入教學中，無疑是乙個有效途徑．
從課堂反饋：智慧型的教師根據對數的發展史對教學內容重新設計和加工，製作了適用於教學的「歷史套裝」，以數學史——對數的發展史為指引，以對數產生的前奏、背景和發展作為一條時間主線貫穿本節課．它引導學生沿著歷史的足跡逐步揭開對數產生的真相，充分揭示了對數概念產生、發展的全過程，使學生體會到對數發明的意義和重要作用，從而理解了對數概念，這是數學史真正融入概念教學的一次嘗試，讓人回味無窮．
回味1：以史引趣，激發學生學習數學的熱情
荷蘭著名數學家費賴登塔爾曾提出：「沒有一種數學的思想，以它被發現時的那樣公開發表．乙個問題被解決後，相應的發展為一種形式化的技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗．」如何將冰冷美麗的數學知識轉化為學生火熱的思考，進一步激發學生對數學的熱情？實踐證明，教師從有利於學生學習的視角出發，利用數學史的歷史性特點以及豐富多彩的趣聞軼事，將課程內容進行多樣化展示，可以激發學生對數學學習的興趣．
本節課上，教師給學生展示了乙個波瀾壯闊的大時代．人類征服星辰大海的客觀需要使學生認識對數發明的必要性；拉普拉斯對於對數的評價使學生充分認識到對數發明的意義所在；納皮爾的英年早逝使得學生扼腕嘆息；布里格斯完成納皮爾的遺願，發明了常用對數表又給了學生柳暗花明又一村的感覺；伽利略人定勝天的豪言壯語更使得學生心潮澎湃、激情滿懷．那些動人、曲折的歷史故事，激發了學生的求知慾，有利於學生形成鍥而不捨的鑽研精神和科學態度．通過數學史的融入，帶給學生的不僅僅是對數知識，更重要的是它帶給了學生對「對數」的熱情，從而遷移到對數學學習的熱情．這一點對於數學學科尤為重要．
回味2：以史啟真，培養學生正確的數學觀
《普通高中數學課程標準》明確指出：「數學是人類文化的重要組成部分．數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，……數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀．」法國大數學家龐加萊也說：「如果我們想預見數學的未來，適當地途徑就是要研究這門科學的歷史和現狀．」運用好數學史，有利於學生學習人類積累的數學知識和數學思想方法的特點，使學生能夠站在歷史的高度，全面、客觀、辯證地看問題，從而把握所學知識的深刻內涵及本質．
回顧本節課，「計算引入」和「對數產生的前奏」環節再現了歷史真實，人類在生產生活實踐中迫切需要一種運算方法來簡化大數運算，減輕運算的複雜程度，這也正是歷史上對數產生的意義所在．教師在教學過程中提供原始問題和資料，例如32×256，36×365這類大數的乘除運算，讓學生體驗歷史上那些大數學家們曾經經歷的思考過程，加深了學生對數學學科的理解——求真務實；通過史提非發現的利用指數運算性質來降低運算級別，讓學生親歷化乘除為加減，化乘方、開方為乘除的過程，揭示出對數的本質屬性——降低運算級別所帶來的簡捷性，從而體會到數學源於生活，又服務於生活，有助於學生形成正確的數學觀．
回味3：以史促思，培養學生的數學思維
數學史上有大量的中外數學問題的原型，體現民族文化特色和思維特點的數學研究方法和重要結論．用好數學史，可以幫助學生回歸、溯源、思考原始問題、從而啟迪學生思維．大力挖掘數學史的教育價值，將這些方面應用到日常數學教學中，對於增進學生的數學問題意識，培養學生的數學思考的習慣和獨立鑽研的能力，啟發學生思維和方法，提高學生數學創新水平等都具有重要的作用．
本節課在教師的引導下，學生在歷史的脈絡中再次經歷數學家所走的道路，拓寬自身的視野，培養數學思維能力．史提非的「原數」使學生體會到原來還有這樣的方法來求大數的乘除運算；通過對前面所學指數函式的單調性和圖象的複習，學生明白原來36和365不僅可以表示為2的指數冪形式，而且這樣的冪指數唯一；通過《幾何畫板》的多**演示，學生找到了這一組冪指數的近似值．在數學史融入教學的過程中，數學的文化價值啟用了教材中數學知識點．從認知角度來看，學生通過對「歷史活動」進行思考，經歷思維的內化、壓縮過程，在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質，在探索和發現中體會前人在發明基本概念、定理公式時的那種思維，培養了學生抽象概況、分析轉換的能力．
回味4：以史定教，要求教師重構「教學套裝」
值得廣大教師注意的是，要真正實現數學史有效融入概念教學中，需要教師精心備課，要注意挖掘中學數學中各個知識點背後的歷史，深入理解數學史的知識意義和方法意義．在操作時，要求教師注意結合教學實際和學生的經驗與體驗，對數學史資源進行有效的選擇、組合，結合現代**，使學生樂於接受，並能從中得到有益的啟迪．本節課上，教師的教學設計並沒有完全照搬歷史，而是對數學史的資源進行了再加工，例如在數學的發展史上，從指數出發來定義對數，迴避了「先有對數後有指數」、「還是先有對數後有指數」的爭議．這是基於學生的認知特點，容易被學生接受．同樣在歷史上，納皮爾是從等差數列和等比數列的運算性質的對比來定義對數的，但是這樣的定義對學生來講很難理解，而且納皮爾的對數是沒有底數這個概念的．教師從學生的學情出發，重新設計了對數史的發展脈絡並將之應用於課堂教學，無疑更適合當前的高中數學課堂．
讀數學史有感
讀完簡單的數學史 心底不由得一陣感動 那是一種什麼感覺呢 是乙個對數學有著宗教般虔誠的仰望者的心動 是乙個對歷史有著無盡探索慾望的追求者的嚮往 每一代人都在數學這座古老的大廈添磚加瓦 當我們在學習以及發展數學時 有必要了解它的歷史 通過這些資料 我對數學發展的概況有了一定的了解 數學史是研究數學科學...
數學史心得體會
學院 數學與資訊科學專業 數學與應用數學姓名 張小胤 學習數學史對每一位數學工作者來講都具有非常重要的意義，尤其是對於我們以後要從事數學知識的傳播的人。我認為學習數學史的意義主要有以下三點 1 每一門科學都有其發展的歷史，作為歷史上的科學，既有其歷史性又有其現實性。數學科學具有悠久的歷史，與自然科學...
數學史期末考作業
數學史是研究數學概念 數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會政治 經濟和一般文化的聯絡的一門科學。數學的發展決不是一帆風順的，數學史是數學家們克服困難和戰勝危機的鬥爭的記錄，是蘊涵了豐富的數學思想的歷史。無理量的發現，微積分和非歐幾何的創立，乃至費馬大定理的證明等等，無一不是經歷了曲折艱難最終探...