2017～2018學年度第一學期期末六校聯考
高三數學（理）試卷
注意事項：
1．答第ⅰ捲前，考生務必將自己的姓名、考生號、考試科目塗寫在答題卡上。
2．選出答案後，用鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再填塗。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求．
（1）若集合，那麼=（ ）.
（ab）
（cd）
（2）已知實數滿足則目標函式的最大值為（ ）.
（abc）4d）
（3）閱讀右邊的程式框圖，執行相應的程式，若輸入的值為1，則輸出的值為（ ）.
（ab）
（cd）
（4）設是首項大於零的等比數列，則「」是
「數列為遞增數列」的（ ）.
（a）充分而不必要條件
（b）必要而不充分條件
（c）充分必要條件
（d）既不充分也不必要條件
（5）已知雙曲線與拋物線共焦點，雙曲線與拋物線的一公共點到拋物線準線的距離為2，雙曲線的離心率為 ，則的值是（ ）.
（ab）
（c）4d）
（6）已知函式，則, ,的大小關係是（ ）.
（a）（b）（c）
（d）（7）已知是的外心，，若，且，則的面積為（ ）.
（abcd）
（8）已知函式，函式．若函式恰好有2個不同零點，則實數a的取值範圍是（ ）．
（ab）
（cd）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題紙相應位置上．
（9）在復平面內，複數的共軛複數對應的點位於第______象限．
（10）直線l的引數方程為.以直角座標系xoy中的原點o為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極座標系，圓c的極座標方程為（＞0，），則圓心c到直線l的距離為______.
（11）已知二項式的展開式中，各項係數的和與其各項
二項式係數的和之比為64，則展開式中的係數等於______．
（12）圓柱被乙個平面截去一部分後與半徑為的半球拼接組成乙個
幾何體，該幾何體三檢視中的正檢視和俯檢視如圖所示．若該
幾何體的表面積為，則=______.
（13）在銳角中，分別為角所對的邊，且，＝，且的面積為，則=______．
（14）設函式在上存在導數，對任意的，有，且在上，若，則實數的取值範圍為______．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（15）（本小題滿分13分）
已知函式.
（ⅰ）求的最小正週期，並求當時，函式的值域；
（ⅱ）當時，若，求的值.
（16）（本小題滿分13分）
已知盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同．
（ⅰ）從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率；
（ⅱ）從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數分別記為，隨機變數x表示中的最大數，求x的概率分布和數學期望．
（17）（本小題滿分13分）
如圖，四稜錐的底面為菱形，，側面是邊長為2的正三角形，側面⊥底面．
（ⅰ）設的中點為，求證：⊥底面；
（ⅱ）求斜線與平面所成角的正弦值；
（ⅲ）在側稜上存在一點，使得二面角的大小為60°，求的值．
（18）（本小題滿分13分）
已知數列的前項和，數列滿足．
（ⅰ）求證：數列是等差數列，並求數列的通項公式；
（ⅱ）設，數列的前項和為，求滿足的的最大值．
（19）（本小題滿分14分）
已知橢圓的焦距為，且與橢圓有相同離心率，直線與橢圓交於不同的兩點．
（ⅰ）求橢圓的方程；
（ⅱ）若在橢圓上存在點，滿足，（為座標原點），求實數取值範圍．
（20）（本小題滿分14分）
已知函式，．
（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）若當時，恆成立，求實數的取值範圍；
（ⅲ）的極小值為,當時，求證：．
（為自然對數的底）
2017～2018學年度第一學期期末六校考試
高三數學（理）參***
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．
（1）a．提示：
（2）c．提示： 相交於點
∴．（3）b．提示：．
（4）b．必要而不充分條件．
（5）d．提示：由拋物線的焦點①
設公共點，代入到拋物線方程得到，
從而②由①②可得到．
於是，．
（6）a．提示： 是偶函式，在上恆大於零，
所以在單調遞增.
∵，，.（7）d．提示：取ac中點d，因為是的外心，則..又，
==．又，．
．（8）d．提示：由，得．
作函式與函式的圖象，
當時，兩個函式圖象恒有兩個公共點；
當時, 兩個函式圖象僅有乙個公共點；
當時，①若，此時函式圖象與函式，有兩個公共點；
②若，此時函式圖象與函式相切，函式與函式的圖象僅有乙個公共點；
③若時，此時函式與函式的圖象無公共點．
所以．二、填空題：本大題6小題，每小題5分，滿分30分．
（9）三． 提示：．
（10）．提示：圓和直線的直角座標方程分別是，，則圓心c到直線l的距離．
（11）．提示：令，由已知，．
（12）．提示：該幾何體是由半個圓柱對接半個球而形成的，檢視表示的是幾何體水平放置時的情形，其表面積，得到．
（13）．提示：由正弦定理得．又三角形是銳角三角形，∴．．再由餘弦定理，有，．
（14）．提示：令
得到，為奇函式．
又∵在上，
單調遞增．
而由奇函式性質得到上單調遞增.
已知，且，
有，即．
∴．解得．
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．
（15）本題滿分13分．
解：(ⅰ)
3分4分
又，所以，且在上單調遞減．
又，所以的值域為7分
(ⅱ)由，則8分
又．……………………9分
又 ……………13分
（16）本題滿分13分．
解：(ⅰ) 取到的2個顏色相同的球可能是2個紅球、2個黃球或2個綠球，
所以4分
（ⅱ）隨機變數x所有可能的取值為2，3，4，；；
於是10分
所以隨機變數x的概率分布列如下表：
因此隨機變數x的數學期望
e(x)＝2×＋3×＋413分
（17）本題滿分13分．
（ⅰ）證明：∵側面是正三角形，的中點為，∴．
∵側面⊥底面，側面底面， 側面，
∴⊥底面3分
（ⅱ）連線，設，以為原點，分別以的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角座標系，則．
……………………4分
設平面的法向量
，則．…………6分
8分另解：可求得四稜錐的體積，三稜錐的體積=1，，進而可得三稜錐的高．又，於是．
（ⅲ）設9分
則， ，，
設平面的法向量為，
由． 由，
可取，得11分
又平面的法向量，
．．解得．
所以，此時13分
（18）本題滿分13分．
解：（ⅰ）在中，令n=1，可得，即．
當時，，∴，
．即．而， ∴．
即當時，．又，
∴數列是首項和公差均為1的等差數列4分
於是6分
8分∴………………10分
由，得，即，
又∵單調遞減，且，
∴的最大值為413分
（19）本題滿分14分．
解：（）由已知可解得3分
所求橢圓的方程4分
（）由得，
．由直線直線與橢圓交於不同的兩點，由． ①
6分設點，則
於是8分
當時，易知點關於原點對稱，則； ……………9分
當時，易知點不關於原點對稱，則．
由，得即． ……………11分
點在橢圓上12分
化簡得．． ②
由①②兩式可得
綜上可得實數的取值範圍是14分
（20）本題滿分14分．
解1分則. 又，
所以，曲線在點處的切線方程為. …………3分
（ⅱ）由(ⅰ)得.
因為為增函式，所以當時，
，①當時，，當且僅當，且時等號成立.
所以在上為增函式.
因此，當時，.
所以，滿足題意6分
②當時，由，得. 解得.
因為，所以，所以
當時，，因此在上為減函式.
所以當時，，不合題意．
綜上所述，實數的取值範圍是9分
（ⅲ）由，得，.
當時，，為減函式；
當時，，為增函式，
所以的極小值10分
由，得．
當時，,為增函式；
當時，,為減函式，
所以11分
而．下證：時，．
．………………12分
令，則.
當時，，為減函式；
當時，,為增函式，
所以，即．
所以，即所以
綜上所述，要證的不等式成立14分
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