例：如圖，①正方形abcd，△amn是等腰直角三角形，∠amn=90°，當rt△amn繞點a旋轉時，邊am、an分別與bc、cd相交於點e、f，連線ef則ef、df、be之間有何數量關係？小明在研究圖①時，採取了以下方案：
延長cb到g，使bg=df，連線ag，得到圖②
(1) 請你根據小明的方案，得到的結論是 ．
(2)在圖①的基礎上，當rt△amn繞點a逆時針旋轉時，邊am、an分別與bc的延長線、cd的延長線相交於點e、f，連線ef，則此時ef、df、be之間有何數量關係？
若ce=6，df=2，求正方形abcd邊長？
變式二：如圖1，在四邊形abcd中，ab=ad，∠bad=120°，∠b=∠adc=90°，e，f分別是bc，cd上的點，且∠eaf=60°，**圖中線段be，ef，fd之間的數量關係
變式三：如圖2，若在四邊形abcd中，ab=ad，∠b+∠d=180°．e，f分別是bc，cd上的點，且∠eaf=∠bad，上述結論是否仍然成立，並說明理由；
實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心(o處)北偏西30°的a處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的b處，並且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令後，艦艇甲向正東方向行駛60海浬到達e處，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向行駛100海浬到達f處，此時指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇之間的夾角(∠eof)為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
1）①證明：延長cb到g，使bg=df，連線ag，
∵四邊形abcd是正方形，
∴∠d=∠abc=∠dab=∠abg=90°，ad=ab，
在△adf和△abg中
∴△adf≌△abg（sas）；
②∵△adf≌△abg，
∴af=ag，∠daf=∠bag，
∵△amn是等腰直角三角形，
∴∠nam=∠n=45°，
∵∠dab=90°，
∴∠daf+∠eab=90°-45°=45°，
∴∠eab+∠bag=45°，
∴∠fae=∠gae=45°，
在△fae和△gae中
∴△fae≌△gae（sas），
∴ef=eg=be+bg，
∵bg=df，
∴ef=df+be．
（2）①不成立，三線段ef、df、be的數量關係是ef=be-df，
證明：在bc上取bg=df，連線ag，
在△abg和△adf中
∴△abg≌△adf（sas），
∴af=ag，∠daf=∠bag，
∵△amn是等腰直角三角形，
∴∠nam=∠n=45°，
∴∠fad+∠dac=45°，
∴∠dac+∠bag=45°，
∵∠dab=90°，
∴∠gae=90°-45°=45°=∠fae，
在△fae和△gae中
∴△fae≌△gae（sas），
∴ef=eg=be-bg，
∵bg=df，
∴ef=be-df．
②解：設正方形abcd的邊長是x，則bc=cd=x，
∵ce=6，df=bg=2，
∴ef=ge=cg+ce=bc-bg+ce=x-2+6=x+4，
在rt△fce中，由勾股定理得：ef2=fc2+ce2，
∴（x+4）2=（x+2）2+62，
解得：x=6，
即正方形abcd的邊長是6．
問題背景：如圖1，在四邊形abcd中，ab=ad，∠bad=120°，∠b=∠adc=90°，e，f分別是bc，cd上的點，且∠eaf=60°，**圖中線段be，ef，fd之間的數量關係．小王同學**此問題的方法是，延長fd到點g．使dg=be．鏈結ag，先證明△abe≌△adg，再證明△aef≌△agf，可得出結論，他的結論應是；
探索延伸：
已知：在四邊形abcd中，ab=ad，∠bad=60°，bc=dc，∠bcd=120°，將直角三角板pmn的30°角的頂點p與點a重合，旋轉三角板pmn，在旋轉過程中，三角板pmn的直角邊pm與直線bc交於點e，斜邊pn與直線dc交於點f，連線ef．
（1）當e、f分別**段bc、cd上時，（如圖①），求證：ef=be+df；
（2）當e、f分別在直線bc、cd上時，（如圖②、圖③），線段ef、be、df之間又有怎樣的數量關係，請直接寫出結論．
（1）延長cd到h點，使dh=be，連線ah，
∵∠bad=60°，∠bcd=120°，
∴∠d+∠b=180°，
∵∠adf+∠adh=180°，
∴∠adh=∠b，
∵ad=ab，dh=be，
∴在△adh和△abe中，
，∴△adh≌△abe（sas），
∴ah=ae，∠had=∠eab，
∵∠dab=60°，∠fae=30°，
∴∠eab+∠daf=30°，
∴∠daf+∠had=30°，即∠haf=30°，
∴在△haf和△eaf中，
，∴△haf≌△eaf（sas），
∴hf=ef，
∵hf=hd+df=be+df，
∴ef=be+df，
（2）如圖②，be=ef+df，
如圖③，df=ef+be．
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