廣州市第二中學2015-2016學年高二上學期第一次月考試題
數學（理科） 2015.10
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請把答案填在答卷的相應位置。
1. 已知集合，，則( )
abcd.
2．函式是( )
a．最小正週期為的偶函式 b．最小正週期為的奇函式
c．最小正週期為的偶函式d．最小正週期為的奇函式
3. 已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的為 ( )
（a）若則b）若則
（c）若，則 （d）若則
4. 已知各項均為正數的等比數列中，成等差數列，則( )
ab. 3c. 或3 d. 27
5. 如圖所示的程式框圖的執行結果為，那麼判斷框中應填入的關於的條件是( )
a． bc． d．
6. 已知向量，，，若，則實數的值為( )
abcd．
7. 函式的圖象大致為（ ）
abcd.
9. 某工廠對一批新產品的長度（單位：）進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，據此估計這批產品的中位數為（ ）
（a） （b） （c） （d）
10. 函式（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點（ ）
（a）向左平移個單位長度
（b）向右平移個單位長度
（c）向左平移個單位長度
（d）向右平移個單位長度
11. 若點和點到直線的距離依次為1和2，則這樣的直線有
a．1條b．2條c．3條d．4條
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。請把答案填在答題卷的相應位置。
13. 已知平面向量的夾角為，則
14. 為了調查城市pm2.5的值，按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數
分別為6、12、18。若用分層抽樣的方法抽取12個城市，則乙組中應抽取的城市數
為15. 若，滿足約束條件則的最大值為_______．
16. 在三稜錐中，底面為邊長為的正三角形，頂點在底面上的射
影為的中心， 若為的中點，且直線與底面所成角的正切值為
，則三稜錐外接球的表面積為
三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
17．（本題滿分10分）
某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數的統計資料的莖葉圖如圖所示.已知甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件的平均數都為.
（1）分別求出，的值；
（2）分別求出甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件的方差和，並由此分析兩組技工的加工水平；
注：方差(其中為資料的平均數.)
18．(本小題滿分12分)
設函式，.
（ⅰ）當時，求函式的值域；
（ⅱ）已知函式的圖象與直線有交點，求相鄰兩個交點間的最短距離.
19.（本題滿分12分）
在四稜錐中，底面是正方形，與交於點底面，為的中點.
(1)求證：平面；
(2)若，**段上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
20．（本小題滿分12分）
已知點p(0,5)及圓c：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點p且被圓c截得的線段長為4，求l的方程；
(2)求過p點的圓c的弦的中點的軌跡方程．
21.（本題滿分12分）
已知數列的前項和為，，，．
（ⅰ) 求證：數列是等比數列；
（ⅱ) 設數列的前項和為，，點在直線上，若不等式對於恆成立，求實數的最大值．
22. （本題滿分12分）
已知是定義在r上的不恒為零的函式，且對於任意的都滿足：.
(ⅰ)判斷函式的奇偶性，並寫出證明過程；
(ⅱ) 已知，設=（n∈n*），求數列{}的通項公式.；
(ⅲ) 若，數列的前項和為.求證：.
2015-2016學年高二上學期第一次月考（理科數學）參***
一、 選擇題．
函式定義域為,又,函式為奇函式.其影象關於原點對稱.故排除c、d，又當時，,所以可排除b，故a正確.
由圖可知則，又，結合可知，即，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點向右平移個單位長度.
二、填空題．
三、解答題．
17．（本小題滿分10分）
解析：（1）根據題意可得：，∴，
，∴；（2）根據題意可得：，，
∵，，∴甲乙兩組的整體水平相當，乙組更穩定一些；
18. （本小題滿分12分）
解析：（ⅰ）解：因為
因為， 所以. 所以， 即，
其中當時，取到最大值2；當時，取到最小值，
所以函式的值域為
（ⅱ）依題意，得
所以或， 所以或
所以函式的圖象與直線的兩個相鄰交點間的最短距離為.
19．（本小題滿分12分）
解析：（1）證明：連線
由四邊形是正方形可知，點為的中點
又為的中點，所以
又平面，平面.所以平面
(2)解法一：若平面，則必有
於是作於點
由底面，所以，又底面是正方形
所以，又，所以平面
而平面，所以,又，所以平面
又，所以.所以為的中點，所以
解法二：取的中點，連線，在四稜錐中
，，所以
又由底面，底面，所以
由四邊形是正方形可知，
又.所以平面, 而平面
所以，平面平面，且平面平面
因為，平面，所以平面
故**段上存在點，使平面.由為的中點，得
20．（本小題滿分12分）
解 (1)如圖所示，|ab|＝4，將圓c方程化為標準方程為
(x＋2)2＋(y－6)2＝16，
∴圓c的圓心座標為(－2,6)，半徑r＝4，設d是線段ab的中點，則cd⊥ab，
∴|ad|＝2，|ac|＝點座標為(－2,6)．
在rt△acd中，可得|cd|＝2.
設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由點c到直線ab的距離公式：＝2，得k＝.
故直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0.
∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)設過p點的圓c的弦的中點為d(x，y)，
則cd⊥pd，即·＝0，
∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化簡得軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
21. （本小題滿分12分）
解析：（ⅰ)由，
得，兩式相減得， 所以（)，
因為，所以，，
所以是以為首項，公比為的等比數列
（ⅱ)由（ⅰ)得，因為點在直線上，所以，
故是以為首項，為公差的等差數列
則，所以，
當時，，
因為滿足該式，所以
所以不等式，
即為，令，則，
兩式相減得
，所以由恒成立，即恆成立，
又，故當時，單調遞減；當時，；
當時，單調遞增；當時，；
則的最小值為，所以實數的最大值是
22. （本小題滿分12分）
解：(ⅰ)f（x）是奇函式,
證明如下： f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），得f（1）=0.
因為f（1）=f［（－1）2］=－f（－1）－f（－1）=0 所以f（－1）=0
f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x）.因此，f（x）為奇函式 ……4分
(ⅱ)且令
即是以1為首項，1為公差的等差數列，
，即8分
(ⅲ)因為10分
所以12分
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