題型三切線的相關證明與計算（9年7考）
型別二圓與直角三角形
針對演練
1. (2017長沙中考模擬卷七)如圖，已知△abc，以ac為直徑的⊙o交ab於點d，點e為的中點，連線ce交ab於點f，且bf＝bc.
(1)判斷直線bc與⊙o的位置關係，並說明理由；
(2)若⊙o的半徑為2，sinb＝，求ce的長．
第1題圖
2. (2017南京)如圖，pa、pb是⊙o的切線，a、b為切點，連線ao並延長，交pb的延長線於點c，連線po，交⊙o於點d.
(1)求證：po平分∠apc；
(2)連線db，若∠c＝30°，求證：db∥ac.
第2題圖
3. (2017張家界)在等腰△abc中，ac＝bc，以bc為直徑的⊙o分別與ab、ac相交於點d、e，過點d作df⊥ac，垂足為點f.
(1)求證：df是⊙o的切線；
(2)分別延長cb、fd，相交於點g，∠a＝60°，⊙o的半徑為6，求陰影部分的面積．
第3題圖
4. 如圖所示，ac為⊙o的直徑且pa⊥ac，bc是⊙o的一條弦，直線pb交直線ac於點d，且pb＝pa.
(1)求證：直線pb是⊙o的切線；
(2)已知：＝2，求cos∠bca的值．
第4題圖
5. (2017南雅第七次階段檢測)如圖，ab是⊙o的直徑，bc切⊙o於點b，連線co並延長，交⊙o於點d、e，連線ad並延長，交bc於點f，連線bd、be.
(1)試判斷∠cbd與∠ceb是否相等，並證明你的結論；
(2)求證：＝；
(3)若bc＝ab，求tan∠cdf的值．
第5題圖
6. (2017婁底)如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，以bc為直徑的⊙o交ab於點d，點e是ac的中點，oe交cd於點f.
(1)若∠bcd＝36°，bc＝10，求的長；
(2)判斷直線de與⊙o的位置關係，並說明理由；
(3)求證：2ce2＝ab·ef.
第6題圖
7. (2017青竹湖湘一二模)如圖，ab是⊙o的直徑，c、g是⊙o上兩點，且點c是劣弧ag的中點，過點c的直線cd⊥bg的延長線於點d，交ba的延長線於點e，連線bc，交od於點f.
(1)求證：cd是⊙o的切線；
(2)若ed＝db，求證：3of＝2df；
(3)在(2)的條件下，連線ad，若cd＝3，求ad的長．
第7題圖
答案1.解：(1)bc與⊙o相切．理由如下：如解圖，連線ae，
∵ac是⊙o的直徑，
∴∠e＝90°，
∴∠ead＋∠afe＝90°，
∵bf＝bc，
∴∠bce＝∠bfc，
∵點e為的中點，
∴＝，∴∠ead＝∠ace，
∴∠acb＝∠bce＋∠ace＝∠bfc＋∠ead＝∠ead＋∠afe＝90°，
∴ac⊥bc，
∵ac為⊙o的直徑，
∴bc與⊙o相切；
(2)∵⊙o的半徑為2，
∴ac＝4，
∵∠acb＝90°，
∴sinb＝＝，
∴ab＝5，
∴bc＝＝3，
∵bf＝bc，
∴bf＝3，af＝5－3＝2，
∵∠eaf＝∠eca，∠e＝∠e，
∴△aef ∽△cea，
∴＝＝＝，
∴ec＝2ea，
設ea＝x，則ec＝2x，
在rt△aec中，由勾股定理得：ae2＋ec2＝ac2，即x2＋4x2＝16，
解得x1＝，x2＝(捨去)，
∴ea＝，ce＝.
2.證明：(1)如解圖，連線ob，
∵pa、pb是⊙o的切線，
∴oa⊥ap，ob⊥bp，
又∵oa＝ob，
∴po平分∠apc；
(2)∵oa⊥ap，ob⊥bp，
∴∠cap＝∠obp＝90°，
∵∠c＝30°，
∴∠apc＝90°－∠c＝90°－30°＝60°，
∵po平分∠apc，
∴∠opc＝∠apc＝×60°＝30°，
∴∠pob＝90°－∠opc＝90°－30°＝60°，
又∵od＝ob，
∴△odb是等邊三角形，
∴∠obd＝60°，
∴∠dbp＝∠obp－∠obd＝90°－60°＝30°，
∵∠dbp＝∠c，
∴db∥ac.
3.（1）證明：如解圖，連線od，
∴od＝ob，
∴∠odb＝∠obd，
∵ac＝bc，
∴∠a＝∠obd，
∴∠odb＝∠a，
∴ac∥od，
∵df⊥ac，
∴df⊥od，
∵od為⊙o的半徑，
∴df是⊙o的切線；
(2)解：∵∠a＝60°，ac＝bc，ob＝od，
∴∠c＝∠dob＝60°，
由(1)知∠odg＝90°，
∴∠g＝30°，
∵od＝6，
∴dg＝＝＝6，
∴s陰影＝s△odg－s扇形dob＝×6×6－＝18－6π.
4.(1)證明：如解圖，連線ob、op，
在△obp和△oap中，，
∴△obp≌△oap(sss)，
∴∠pbo＝∠pao，
∵pa⊥ca，
∴∠pac＝90°，
∴∠pbo＝∠pao＝90°，
∴ob⊥pb，
∵ob是⊙o的半徑；
∴直線pb是⊙o的切線；
(2)解：由(1)可知△obp ≌△oap，
∴∠pob＝∠poa，
∴∠bca＝∠aob＝∠pob＝∠poa，
∴bc∥po，
∴＝＝2，
設bp＝a，bd＝2a，
∴pa＝a，
由勾股定理得：da＝＝2a，
∴dc＝a，ao＝co＝a.
由勾股定理得：po＝＝a，
∴cos∠bca＝cos∠poa＝＝.
5. (1)解：∠cbd＝∠ceb，證明如下：
∵ab是⊙o的直徑，bc切⊙o於點b，
∴∠cbd＝90°－∠obd，
又∵de過⊙o的圓心，
∴∠dbe＝90°，ob＝od，
∴∠ceb＝90°－∠odb，∠odb＝∠obd，
∴∠cbd＝∠ceb；
(2)證明：∵在△cbd和△ceb中，
∵∠cbd＝∠ceb，∠c＝∠c，
∴△cbd∽△ceb，
∴＝；(3)解：∵bc＝ab，ob＝ab，
∴在rt△obc中，oc＝ab，
∴cd＝oc－od＝ab，
∵de是⊙o的直徑，
∴∠dbe＝90°，
∵∠cdf＝∠ade＝∠abe＝∠bed，
∴tan∠cdf＝tan∠bed＝＝＝＝.
6. (1)解：如解圖，連線od，
∵∠bcd＝36°，
∴∠bod＝2∠bcd＝2×36°＝72°，
∵bc是⊙o的直徑，且bc＝10，
∴l＝＝2π；
(2)解：de是⊙o的切線．理由如下：
∵bc是⊙o的直徑，
∴∠adc＝180°－∠bdc＝90°，
又∵點e是線段ac的中點，
∴de＝ae＝ec＝ac，
在△doe與△coe中，
∵，∴△doe≌△coe，
∵∠acb＝90°，
∴∠ode＝∠oce＝90°，
∵od是⊙o的半徑，
∴de是⊙o的切線；
(3)證明：∵△doe≌△coe，
∴oe是線段cd的垂直平分線，de＝ce，∠efc＝90°，
∴點f是線段cd的中點，
∵點e是線段ac的中點，
∴efad，∠adc＝∠efc＝90°，
在△acd與△abc中，
∠bac＝∠cad，∠adc＝∠acb，
∴△acd∽△abc，
則＝，即ac2＝ab·ad，
又∵ac＝2ce，ad＝2ef，
∴(2ce)2＝ab·2ef，
即4ce2＝ab·2ef，
∴2ce2＝ab·ef.
7. (1)證明：如解圖①，連線oc、ac、cg，
∵＝，∴ac＝cg，
∴∠abc＝∠cbg，
∵oc＝ob，
∴∠ocb＝∠obc，
∴∠ocb＝∠cbg，
∴oc∥bg，
∵cd⊥bg，
∴oc⊥cd，
∵oc是⊙o的半徑，
∴cd是⊙o的切線；
(2)證明：∵oc∥bd，
∴∠cfo＝∠dfb，∠ocb＝∠cbd，∠eoc＝∠ebd，
∴△ocf ∽△dbf，△eoc ∽△ebd，
∴＝，＝，
∴＝，∵ed＝db，∠edb＝90°，
∴∠e＝30°，
∴oc＝oe，
∵oa＝oc，
∴ae＝oa＝oc＝ob，
∴＝＝＝，
即3of＝2df；
(3)解：如解圖②，過a作ah⊥de，交de於點h，
∵∠e＝30°，
∴∠ebd＝60°，
∵∠abc＝∠cbd，
∴∠cbd＝∠ebd＝30°，
∵cd＝3，
∴bd＝＝3，
∴be＝＝6，de＝bd＝9，
∵ae＝be，ah∥bd，
∴ah＝bd＝，dh＝de＝6，
∴ad＝＝.
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