絕密★啟用前
廣東省中山市2015屆高三下學期第二次模擬考試
數學（文科）
參考公式：稜錐的體積公式v=sh，其中s表示稜錐的底面積，h表示稜錐的高
獨立性檢測中，隨機變數
分類變數x與y有關係的可信度表：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在復平面內，複數（是虛數單位）對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
2．函式的定義域為（ ）
a． b．（） c． d．（）
3、已知向量 ，，若與垂直，則等於
a . 1b . 2c . 4d .
4．乙個單位有職工800人，其中具有高階職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的200人，其餘人員120人.為了解職工收入情況，決定採用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本．則從上述各層中依次抽取的人數分別是（ ）
a．12，24，15，9 b．9，12，12，7 c．8，15，12，5 d．8,16,10,6
5、函式是：（ ）
a . 週期為的奇函式b．週期為的偶函式
c． 週期為的奇函式 d．週期為的偶函式
6．一組資料的平均數是2.8，方差是3.6，若將這組資料中的每乙個資料都加上60，得到一組新資料，則所得新資料的平均數和方差分別是 ( )
a．57.2, 3.6 b．57.2, 56.4 c．62.8, 63.6 d．62.8, 3.6
7．從1，2，3，4，5這5個數中任取兩數，其中：①恰有乙個是偶數和恰有乙個是奇數；②至少有乙個是奇數和兩個都是奇數；③至少有乙個是奇數和兩個都是偶數；④至少有乙個是奇數和至少有乙個是偶數． 上述事件中，是對立事件的是( )
a．① bcd．① ③
8．已知條件 ，條件 ，則是的：
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
9．下列函式中，滿足「對任意，，當時，都有」的函式是（ ）
a． b． c． d．
10、若兩個分類變數x和y的列聯表為：則x與y之間有關係的可能性為( )
a．0.1% b．99.9% c．97.5% d．0.25%
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，共20分。
（一）必做題（11～13題）
11．設函式為奇函式，則
12．在邊長為a的正方形abcd內任取一點p，則p到點a的距離大於a的概率是
13．閱讀下邊的程式框圖，若輸入的n是100，則輸出的變數s和t的值依次是___和________
（二）選做題：考生從以下兩題中選做一題，兩題均做的，按第一題給分
14．（《幾何證明選講》選做題）如上圖，點是圓上的點， 且，則圓的面積等於
15. （《座標系與引數方程》選做題）已知直線的極座標方程為，則它與曲線（為引數）的交點的直角座標是
三、解答題：本大題共6小題，共80分。
16. （本小題滿分12分）
設函式的圖象經過點．
（ⅰ）求的解析式，並求函式的最小正週期和最值．
（ⅱ）若，其中是面積為的銳角的內角，且，求和的長．
17. （本小題滿分12分）圍建乙個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊牆(利用的舊牆需維修)，其他三面圍牆要新建，在舊牆對面的新牆上要留乙個寬度為2 m的進出口，如圖所示.已知舊牆的維修費用為45元/m，新牆的造價為180元/m.
設利用的舊牆長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍牆總費用為y(單位：元).
(1)將y表示為x的函式；
(2)試確定x，使修建此矩形場地圍牆的總費用最小，並求出最小總費用.
18．（本小題滿分14分）某校高三數學競賽初賽考試後，對90分以上（含90分）的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示．若130~140分數段的人數為2人．
（ⅰ）估計這所學校成績在90~140分之間學生的參賽人數；
（ⅱ）估計參賽學生成績的中位數；
（ⅲ）現根據初賽成績從第一組和第五組（從低分段到高分段依次為第一組、第二
組、…、第五組）中任意選出兩人，形成幫扶學習小組．若選出的兩人成績之差大於20，則稱這兩人為「**搭檔組」，試求選出的兩人為「**搭檔組」的概率．
19．（本小題滿分14分）
如圖，矩形中，平面abe 為上的點，且平面，
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求三稜錐的體積.
20．（本小題滿分14分）已知各項都不相等的等差數列的前六項和為60，
且a6為a1和a21的等比中項．
(1)求數列的通項公an及前n項和sn；
(2)若數列滿足bn＋1－bn＝an(n∈n*)，且b1＝3，求數列{}的前n項和tn.
21．（本小題滿分14分）已知函式且，
（1）試用含的代數式表示b；
（2）求的單調區間；
（3）令，設函式在處取得極值，記點，
證明：線段mn與曲線存在異於m、n的公共點
17. (1)如圖，設矩形的另一邊長為a m，
則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝ ，所以y＝225x＋ －360(x＞0).
(2)∵x＞0，∴225x＋≥2 ＝10 800.
∴y＝225x＋ －360≥10 440.
當且僅當225x＝時，等號成立. 即當x＝24 m時，修建圍牆的總費用最小，最小總費用是10 440元.
19． （1）證明：∵平面,，∴平面,∴. …2分
又 ∵平面, ∴，
4分（2）證明：鏈結 ，∵平面, ∴
∵ , ∴為的中點；∵ 矩形中， 為中點，
7分∵ ， ∴平面. ……8分
（3）解：取中點，鏈結，∵,∴
∵平面10分
∵平面,∴,∴ …11分
∴，故三稜錐的體積為：
13分21．（ⅰ）依題意，得
由得（ⅱ）由（ⅰ）得
故令，則或
①當時，
當變化時，與的變化情況如下表：
由此得，函式的單調增區間為和，單調減區間為
（ⅲ）當時，得
由，得由（ⅱ）得的單調增區間為和，單調減區間為
所以函式在處取得極值。
故所以直線的方程為由得令
易得，而的影象在內是一條連續不斷的曲線，故在內存在零點，這表明線段與曲線有異於的公共點
另：也可由解得
所以線段與曲線有異於的公共點
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