宿豫中學2015~2016學年度第一學期期中考試
（考試時間120分鐘，試卷滿分160分)
參考公式：樣本資料的方差，其中.
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．不需寫出解題過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．
1．命題「」的否定為 ▲ ．
2．拋物線的準線方程是 ▲ ．
3．甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生．為統計三所學校的學生在某方面的情況，計畫採用分層抽樣方法抽取乙個容量為90的樣本，則應從乙校抽取 ▲ 名學生．
4．為了分析某籃球運動員在比賽中發揮的穩定程度，統計了該運動員在6場比賽中的得分，用莖葉圖表示如圖，則該組資料的方差為 ▲ ．
5．如圖，函式的圖象在點處的切線方程是，
則= ▲ ．
6．如圖是乙個演算法的流程圖，最後輸出的值為 ▲ ．
7．函式的單調減區間為 ▲ ．
8．已知△abc的頂點b，c在橢圓上，頂點a是橢圓的乙個焦點，且橢圓的另外乙個焦點在bc邊上，則△abc周長的值為 ▲ ．
9．從[0，2]之間選出兩個數，這兩個數的平方和小於1的概率是 ▲ ．
10．若時，函式有極值8，則值的為 ▲ ．
11．已知點，點是圓上的乙個動點，線段的垂直平分線交於點，則點的軌跡方程為 ▲ ．
12．設函式，，若有乙個零點，則實數的取值範圍是 ▲ ．
13．已知雙曲線的左，右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使，則該雙曲線離心率的取值範圍是 ▲ ．
14．已知函式在區間上單調遞增，則實數的取值範圍是▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
某企業員工500人參加「學雷鋒」志願活動，按年齡分組：
第1組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，
第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如右圖所示．
(1)上表是年齡的頻數分布表，求正整數的值；
(2)現在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中隨機抽取2人參加社群宣傳交流活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．
16．（本小題滿分14分）
已知,命題表示雙曲線；命題表示焦點在軸上的橢圓.
（1）若是真命題，求實數的取值範圍；
（2）若「非」 與「或」都是真命題,求實數的取值範圍.
17．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左右焦點分別為，，其右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構成正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的中心作一條直線與其相交於p，q兩點，當四邊形面積最大時，求的值．
18．（本小題滿分16分）
如圖是乙個半圓形湖面景點的平面示意圖．已知為圓心，直徑km，， 分別為圓周上靠近和靠近的點，且∥．現在準備從經過到建造一條觀光路線，其中到是圓弧，到是線段.設，觀光路線總長為.
（１）求關於的函式解析式，並指出該函式的定義域；
（２）求觀光路線總長的最大值.
19．（本小題滿分16分）
已知橢圓和圓：，過橢圓上一點引圓的兩條切線，切點分別為．
（1）①若圓過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率；
②若橢圓上存在點，使得，求橢圓離心率的取值範圍；
（2）設直線與軸，軸分別交於點，，求證：為定值．
20．(本小題滿分16分)
已知函式
(1) 求函式在點處的切線方程；
(2) 求函式的單調區間；
(3) 若存在,使得（其中是自然對數的底數),求實數的取值範圍.
高二數學試卷參***
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共計70分．不需寫出解題過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
1． ， 2． ， 3．45， 4．5 ， 5．0，
6．378．， 9． ， 10．，
11． ， 12．， 13．， 14． ，
二、解答題: 本大題共6小題， 15~17每小題14分，18~20每小題16分，共計90分．請在答題卡指定的區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．解：（1）由頻率分布直方圖可知
6分 （2）因為第1,2,3組共有50+50+200=300人，利用分層抽樣從300人中抽取6人第1,2,3組應分別抽取1人，1人、4人，記「恰有一人年齡在第三組」為事件m……8分
設第1組的1位同學為a，第二組的同學為b，第三組的同學為,
共15個基本事件，其中恰有一人年齡在第三組有8個基本事件10分
所以13分
答：從第1,2,3組中抽取2人，恰有一人年齡在第三組的概率為。……………14分
16．解：（1）若命題p為真命題，則由題意可得：（2-m）(m+4)<03分
解得：m>2或m<-45分
所以若是真命題,則m的取值範圍是：………7分
（2）若「非p」是真命題，則p是假命題。由（1）題可得：……9分
又因為「或」 是真命題，所以q是真命題10分
由題意可得：3-m>m+5>0, 解得12分
所以若「非」 與「或」都是真命題，則m的取值範圍是：…14分
17．解：（1）由題，拋物線的焦點座標為，故2分
又因為短軸的兩個端點與構成正三角形,
所以，又得6分
所以橢圓的方程為6分
（2）設點座標為,由橢圓的對稱性知，
當四邊形面積最大時，兩點分別位於短軸兩個端點，
由對稱性不妨設10分
又則所以14分
18．解：（1）由題意得……………6分
（27分
9分∴………………11分
13分答：觀光線路總長的最大值為14分
19．解：（1）①由題意得,又2分3分
②, ,
5分7分
8分（2）
…………………10分
12分(定值).
16分20．解：⑴因為函式,
所以, ,
又因為,所以函式在點處的切線方程為……………3分
⑵由⑴,.
因為當時,總有在上是增函式5分
又,所以不等式的解集為7分
故函式的單調增區間為8分
⑶因為存在,使得成立,
而當時, ,
所以只要即可9分
又因為, ,的變化情況如下表所示:
所以在上是減函式,在上是增函式,所以當時,的最小值,的最大值為和中的最大值. ……11分
因為,令,因為,
所以在上是增函式.
而,故當時, ,即;
當時, ,即13分
所以,當時, ,即,函式在上是增函式,解得14分
當時, ,即,函式在上是減函式,解得15分
綜上可知,所求的取值範圍為16分
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