2014—2015學年度第二學期模組測試
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．是虛數單位，若複數滿足，則等於（ ）
abcd．
1．複數
abcd．
5．已知函式的導函式為，且滿足，則
a．1b．－1c．－e－1d．－e
6．若, , ,則的大小關係是
abcd．
7．曲線在點處的切線與兩座標軸圍成的三角形面積是
abcd．
8．已知，且，現給出如下結論：
其中正確結論的序號是
abcd．②④
9．設,若函式有大於零的極值點,則
abcd．
10．定義在上的函式，是它的導函式，且恒有成立，則
a． b． c． d．
2．函式的圖象在點處的切線方程是（ ）
a. b. c. d．
3．已知乙個二次函式的圖象如圖所示，那麼它與x軸所圍成的封閉圖形的面積等於（
abcd.
4.是函式的導函式，圖象如右圖所示，則的圖象最有可能是（ ）
5．函式的單調遞減區間是（ ）
（a）b），（c）（d），
6．「」是「函式為增函式」的（ ）
a）充分但不必要條件 b）必要但不充分條件 （c）充要條件（d）既不是充分條件也不是必要條件
8． 設函式的定義域為r，如果存在函式為常數），使得對於一切實數都成立，那麼稱為函式的乙個承托函式. 已知是函式的乙個承托函式，那麼實數a的取值範圍是（ ）
a. b． c． d．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.
9. 已知複數，其中為虛數單位，那麼
11. 如果函式，那麼
12．已知在處有極值10，則
13．已知函式的影象與恰有兩個公共點，則
14．已知函式在定義域上可導，其圖象如圖，記的導函式，則不等式的解集是
15．若函式,在上不單調，則的取值範圍是
16．若關於的不等式對任意的恆成立，則實數的值為
12. 函式的最大值為
13. 過點，與拋物線相切的直線方程為
14．設函式，其中，且. 給出下列三個結論：
①函式在區間內不存在零點；②函式在區間內存在唯一零點；
③設為函式在區間內的零點，則.其中所有正確結論的序號為
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 .
18．已知函式.
（ⅰ）求函式的單調區間； （ⅱ）設，求函式在區間上的最小值.
19．設，函式，函式，.
（ⅰ）當時，寫出函式零點個數，並說明理由；
（ⅱ）若曲線與曲線分別位於直線的兩側，求的所有可能取值.
17．已知函式
（1）求函式的最小值；
（2）設，求的圖象與的圖象的公共點個數。
18．已知函式
（1）若函式在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線平行，求的值；
（2）若，試討論函式的單調性。
20．已知函式，.
（ⅰ）求函式的解析式；（ⅱ）若對於任意，都有成立，求實數的取值範圍；
（ⅲ）設,，且，求證：.
20．已知函式
（1）時函式的單調性；
（2）若恒成立，求實數的取值範圍；
（3）設，若對任意的兩個實數滿足，總存在，使得成立，證明：
20．解析：
（1）當時，函式，
則．當時，，當時，1，
則函式的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，． 4分
（2）恆成立，即恆成立，整理得恆成立．
設，則，令，得．當時，，函式單調遞增，當時，，函式單調遞減，因此當時，取得最大值1，因而． 8分
（3），．
因為對任意的總存在，使得成立，
所以， 即，
即12分
設，其中，則，因而在區間(0，1)上單調遞增，，又．
所以，即14分
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