一、選擇題
1．函式y＝sin x＋cos x的最小值和最小正週期分別是( )
a．－，2b．－2,2π
cd．－2，π
2．函式y＝sin x||(03．若動直線x＝a與函式f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的圖象分別交於m、n兩點，則|mn|的最大值為( )
a．1b.
cd．2
4．已知函式y＝sin x的定義域為[a，b]，值域為[－1，]，則b－a的值不可能是( )
ab.cd.
5．已知函式f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區間[－，]上的最小值是－2，則ω的最小值為
( )
ab.c．2d．3
6．設函式f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，則( )
a．y＝f(x)在(0，)單調遞增，其圖象關於直線x＝對稱
b．y＝f(x)在(0，)單調遞增，其圖象關於直線x＝對稱
c．y＝f(x)在(0，)單調遞減，其圖象關於直線x＝對稱
d．y＝f(x)在(0，)單調遞減，其圖象關於直線x＝對稱
二、填空題
7．如果函式y＝3cos(2x＋φ)的圖象關於點(，0)中心對稱，那麼|φ|的最小值為________．
8．設函式y＝sin(x＋)，若對任意x∈r，存在x1，x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恆成立，則|x1－x2|的最小值是________．
9．設函式y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正週期為π，且其圖象關於直線x＝對稱，則在下面四個結論：①圖象關於點(，0)對稱；②圖象關於點(，0)對稱；③在[0，]上是增函式；④在[－，0]上是增函式中，所有正確結論的編號為________．
三、解答題
10．已知函式f(x)＝4cos xsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正週期；
(2)求f(x)在區間[－，]上的最大值和最小值．
11．設a＝(sin2，cos x＋sin x)，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)已知常數ω>0，若y＝f(ωx)在區間[－，]上是增函式，求ω的取值範圍；
12．已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，函式f(x)＝a·b＋|b|2.
(1)求函式f(x)的最小正週期；
(2)求函式f(x)的單調減區間；
(3)當≤x≤時，求函式f(x)的值域．
詳解答案：
1．解析：∵y＝sin(x＋)，∴當x＋＝2kπ－(k∈z)時，ymin＝－.t＝2π.
答案：a
2．解析：y＝sin x||＝
答案：b
3．解析：|mn|＝|sin a－cos a|＝|sin(a－)|，
∴|mn|max＝.
答案：b
4．解析：畫出函式y＝sin x的草圖分析知b－a的取值範圍為[，]．
答案：a
5．解析：∵f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區間[－，]上的最小值為－2
∴≤，即≤，∴ω≥，即ω的最小值為.
答案：b
6．解析：因為y＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)＝sin(2x＋)＝cos 2x，所以y＝cos 2x在(0，)單調遞減，對稱軸為2x＝kπ，即x＝(k∈z)．
答案：d
7．解析：由題意知，2×＋φ＝kπ＋，k∈z.
解得φ＝kπ－，k∈z.當k＝2時，|φ|min＝.
答案：8．解析：由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恆成立，可得f(x1)為最小值，f(x2)為最大值，|x1－x2|的最小值為半個週期．
答案：2
9．解析：∵t＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ＋.
y＝sin(2x＋)．
由圖象及性質可知②④正確．
答案：②④
10．解：(1)因為f(x)＝4cos xsin(x＋)－1
＝4cos x(sin x＋cos x)－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin(2x＋)，
所以f(x)的最小正週期為π.
(2)因為－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
於是，當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值2；
當2x＋＝－，即x＝－時，f(x)取得最小值－1.
11．解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)·(cos x－sin x)
＝4sin x·＋cos2x
＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1，
∴f(x)＝2sin x＋1.
(2)∵f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0.
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，
得f(ωx)的增區間是[－，＋]，k∈z.
∵f(ωx)在[－，]上是增函式，
∴－≥－且≤，
∴ω∈(0，]．
12．解：f(x)＝a·b＋|b|2
＝5cos x·sin x＋cos x·2cos x＋sin2x＋4cos2x
＝5sin xcos x＋sin2x＋6cos2x
＝sin2x＋＋3(1＋cos2x)
＝sin2x＋cos2x＋
＝5sin(2x＋)＋
(1)f(x)的最小正週期t＝＝π.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈z.
∴f(x)的單調減區間為[kπ＋，kπ＋](k∈z)．
(3)∵≤x≤，
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴1≤f(x)≤
即f(x)的值域為[1，]．
第三章三角函式知識框架
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