第二章分解因式
回顧與思考
江西省九江市第十一中學陶增元
總體說明
本節是因式分解的最後一節，佔乙個課時，它主要讓學生回顧在學習因式分解時用到的幾種方法：提公因式法與公式法，加深對整式乘法與因式分解之間是互逆關係的印象，通過螺旋式上公升的認識，讓學生逐步熟悉運用因式分解的基本技能，加強因式分解在生活中的應用，發展學生的應用能力和逆向思維能力，通過本節課的教學使學生對因式分解能有更深的認識和更強的數學能力及數學素養．
一、學生知識狀況分析
學生的技能基礎：學生已經學習了因式分解的兩種方法：提公因式法與公式法，逐步認識到了整式乘法與因式分解之間是一種互逆關係，但對因式分解在實際中的應用認識還不夠深．
學生活動經驗基礎： 在本章內容的學習過程中，學生已經經歷了觀察、對比、模擬、討論等活動方法，獲得了解決實際問題所必須的一些數學活動經驗基礎，同時在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力．
二、教學任務分析
在前幾節的學習中，學生已經掌握了提取公因式與公式法的用法，本課時安排讓學生對本章內容進行回顧與思考，旨在把學生頭腦中零散的知識點用一條線有機地組合起來，從而形成乙個知識網路，使學生對這些知識點不再是孤立地看待，而是在應用這些知識時，能順藤摸瓜地找到對應的及相關的知識點，同時能把這些知識加以靈活運用，因此，本節課的教學目標是：
知識與技能：
（1）使學生進一步了解分解因式的意義及幾種因式分解的常用方法；
（2）提高學生因式分解的基本運算技能；
（3）能熟練使用幾種因式分解方法的綜合運用．
數學能力：
（1）發展學生對因式分解的應用能力，提高解決問題的能力；
（2）注重學生對因式分解的理解，發展學生分析問題的能力和推理能力．
情感與態度：
通過因式分解綜合練習和開放題練習，提高學生觀察、分析問題的能力，培養學生的開放意識；通過認識因式分解在實際生活中的應用，培養學生運用數學知識解決實際問題的意識．
三、教學過程分析
本節課設計了七個教學環節：回顧——辨析——做一做——試一試——想一想——開放題——反饋練習．
第一環節回顧
活動內容：1、你學過哪些因式分解的方法？舉乙個例子說明其中用到了哪些方法？
2、你認為分解因式與整式的乘法之間有什麼關係？
活動目的：學生通過回顧與思考，對因式分解的兩種常用方法：提公因式法與公式法有乙個更深層次的認識，加深對分解因式與整式乘法的互逆關係的認識與理解，發展學生的逆向思維能力．
注意事項：有了前幾節課的學習，學生對因式分解的概念與兩種常用方法以及分解因式與整式乘法的互逆關係有了較清楚的認識與理解．
第二環節辨析題
活動內容：下列哪些式子的變形是因式分解？
（1）x2–4y2=（x+2y）（x–2y）
（2）x（3x+2y）=3x2+2xy
（3）4m2–6mn+9n2 =2m（2m–3n）+9n2
（4）m2+6mn+9n2=（m+3n）2
活動目的：加深學生對因式分解概念的認識．
注意事項：這類習題結果較易分辨，學習完成較好．
第三環節做一做
活動內容：把下列各式因式分解：
（1）x2+14x+492）7x2–63
（3）y2–9（x+y）24）（x+y）2–14（x+y）+49
（5）16–（2a+3b）26）
（7）a4–8a2b2+16b48）（a2+4）2–16a2
活動目的：（1）加強學生對因式分解的基本技能訓練；
2）讓學生認識到因式分解一定要分解到不能再分為止．
注意事項：前六題學生完成得較好，但第（7）（8）兩小題，有的學生分解的不徹底，這是很多學生經常犯的一種錯誤，為此，教師在對學生進行相關訓練時，應加強引導和啟發，防患於未然．
第四環節試一試
活動內容：1、在日常生活中如取款、上網等都需要密碼，有一種用「因式分解」法產生的密碼，方便記憶．原理是：如對於多項式x4–y4，因式分解的結果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9時，則各個因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，於是就可以把「018162」作為乙個六位數的密碼對於多項式4x3–xy2，取x=10，y=10時，上述方法產生的密碼可以是
2、如圖，在乙個半徑為r的圓形鋼板上，衝去半徑為r的四個小圓．
（1）用代數式表示剩餘部分的面積；
（2）用簡便方法計算：當r=7.5，r=1.25時，剩餘部分的面積．
活動目的：加強因式分解在實際生活中的應用，發展學生對因式分解的應用能力，提高解決問題的能力．
注意事項：將數學與實際生活結合到一起是部分學生的薄弱環節，但對於學生是乙個有益的嘗試，教師的引導應注意以下兩個步驟：先將多項式因式分解；再將資料代入．
第五環節想一想
活動內容：計算：
1、32004–320032、（–2）101+（–2）100
3、已知x+y=1，求的值．
活動目的：使學生了解因式分解在計算中的作用，當冪的次數較高時，利用冪的運算等知識無法解決時，應用因式分解來解決實際問題不失為乙個有效的辦法．
注意事項：乍一看，學生從前未接觸過這種題型，因而不知從何下手，但在老師的引導和啟發下，部分學生能解決提出的問題．
第六環節開放題
活動內容：請你出一道含因式分解知識的習題給你的同伴解答．
活動目的：通過開放題的設定，了解學生對因式分解的基本技能的掌握情況，關注學生的數學能力與數學素養的發展，培養學生的開放意識，發展學生有條理的思考和語言表達能力，以及對數學思想方法的正確認識．
注意事項： 大多數學生所出的習題都與因式分解的基本技能相關，只是難易程度不同，有少數同學出的習題能與實際生活相結合，體現了這部分同學有較好的數學素養．
第七環節反饋練習
活動內容：1、把下列各式因式分解：
（1）x3y2–4x2）a3–2a2b+ab2
（3）a3+2a2+a4）（x–y）2–4（x+y）2
2、填空：
（1）若乙個正方形的面積是9x2+12xy+4y2，則這個正方形的邊長是
（2）當k= 時，100x2–kxy+49y2是乙個完全平方式；
（3）計算：20062–2×6×2006+36
3、利用因式分解計算：．
活動目的：通過設定恰當的、有一定梯度的題目，關注學生知識技能的發展和不同層次的需求．第1題主要考察學生對因式分解基本技能的掌握程度，適合全體學生解答；第2題主要考察學生對因式分解的靈活掌握，中等程度以上的學生都應該能解答；第3題則把因式分解的靈活運用上公升到更新的高度，這適合於程度較好的學生解答．
注意事項：
（1）第2題的第（1）小題中的正方形的面積是邊長的平方，即9x2+12xy+4y2是某個多項式的完全平方式，應將9x2+12xy+4y2轉換成完全平方的形式，底數就是這個正方形的邊長；
（2）第2題的第（2）小題應提醒學生完全平方公式含有兩個：兩數差的完全平方公式與兩數和的完全平方公式；
（3）第3題中的每乙個括號都可以運用平方差公式進行因式分解，通分後可以發現這些分數的乘積可以進行特殊運算．
課後練習：課本第61頁複習題第2題；
第62頁第3題，第4題；
第62頁第9題．
思考題：課本第63頁聯絡拓廣第13、14題（給學有餘力的同學做）
四、教學反思
在傳統教育中，人們都感覺到數學並沒有什麼很大的用途，數學與生活是脫節的，在我們的教學中，很難找到生活的影子，我們的學生只會用所學的知識解答課本中的一些習題，缺乏應用所學的數學知識去解決生活中一些實際問題的主動性與能力，以至在學生的頭腦中數學與實際生活經驗構成了兩個互不相干的認知場．正是這種人為的將數學與生活隔離開來，使得很多學生對數學產生了懼怕的心理．
數學**於生活，並應用於生活，讓學生用數學的眼光觀察生活，除了用所學的數學知識解決一些生活問題外，還可以從數學的角度來解釋生活中的一些現象，面向生活是學生發展的「源頭活水」．
第四環節的兩道題的設定有著很濃厚的生活氣息，也使學生了解到原來生活中也存在很多數學知識，包括因式分解的知識．培養學生去留心觀察我們周圍的生活、強調將生活問題帶進數學，同時也嘗試讓學生帶著數學走進生活，唯有如此，才能更好地培養學生初步的創新精神和實踐能力，才能使學生在情感態度和數學素養等方面都得到充分發展．
因式分解小結與複習
主備人 楊樹華授課班級 138班 參與備課人 羅海建 唐思梁 吳小珍 楊煥良 分層目標 a層 能正確記憶公式，會正確運用公式進行簡單因式分解 b層 理解多項式中如果有公因式要先提公因式，了解實數範圍內與有理數範圍內分解因式的區別。c層 培養逆向思維與解決問題的能力。重點與難點 重點 記住公式 難點 ...
因式分解小結
知識精讀 因式分解是把乙個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1.因式分解的物件是多項式 2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式 3.分解因式，必須進行到每乙個因式都不能再分解為止 4.公...
《因式分解》複習
15 5因式分解的複習 新課指南 1.知識與技能 掌握運用提公因式法 公式法 分組分解法分解因式，及形如x2 p q x pq的多項式因式分解，培養學生應用因式分解解決問題的能力.2.過程與方法 經歷探索因式分解方法的過程，培養學生研討問題的方法，通過猜測 推理 驗證 歸納等步驟，得出因式分解的方法...