□百色市平果縣城關鎮初級中學梁運仕
【關鍵詞】初中數學十字相乘因式分解
【中圖分類號】g 【文獻標識碼】a
【文章編號】0450-9889（2013）04b-
0048-02
在初中階段的數學教材上，關於分解因式的內容篇幅較少，用十字相乘法進行分解因式的內容在現行的教材中已經找不到。然而，讓學生學會使用十字相乘法進行因式分解，既能開拓學生的思維，也能讓學生在解數學題時帶來便利。
十字相乘法主要是對二次三項式進行分解因式，它被廣泛應用於求解一元二次方程、求二次函式與x軸的交點座標、求二次不等式的解集等。因此教會學生使用十字相乘法，對於學生後續的學習有很大的幫助。
一、何謂「十字相乘法」
所謂的「十字相乘法」就是借助畫十字交叉線分解係數，從而把二次三項式分解因式的方法。如圖，十字左邊兩個因數相乘等於二次項係數，右邊兩個因數相乘等於常數項，交叉相乘所得的結果再相加等於一次項係數，這時二次三項式可分解為兩個多項式的乘積。
如果二次項係數是負數，則可先提出負號到括號外面，使二次項係數為正數，然後再進行因式分解。在二次項係數為正數的情況下，分如下兩種情況進行討論。
第一種情況，對於二次項係數為1的二次三項式：x2+bx+c。
將常數項c拆分成兩個因數c1和c2，使這兩個因數c1和c2的乘積結果剛好是常數項c，同時c1和c2的和剛好是一次項係數b。如圖所示：只要能滿足c=c1c2，b=c1+c2，則x2+bx+c=x2+（c1+c2）x+c1c2=（x+c1）（x+c2），從右圖觀察可知，豎直的兩數相乘分別得到二次項係數1和常數項c（c=c1c2），把對角交叉相乘所得的結果相加起來得一次項係數b（b=c1+c2）。
下面我們通過乙個例子來感受下十字相乘法在因式分解中的應用。
例：分解因式：1）x2+7x+12；2）y2-8y+15；
解：1）x2+7x+12
二次項係數1=1×1
常數項12=1×12=2×6=3×4
觀察如圖，做第1次嘗試，雖然有1 ×1=1（二次項係數），1×12=12（常數項）但是1×12+1×1≠7（一次項係數），顯然第1個不合適。做第2次嘗試，同樣有1×1=1（二次項係數），2×6=12（常數項），但是1×6+1×2≠7（一次項係數），所以第2個也不合適。只有第3個滿足條件：
1×1=1（二次項係數），3×4=12（常數項），1×3+1×4=7（一次項係數）。
所以，x2+7x+12=（1x+3）（1x+4）=（x+3）（x+4）
解：2） y2-8y+15
二次項係數 1=1×1
常數項 15=1×15=-1×（-15）=3×5=-3×（-5）
經過多次嘗試，發現只有第（4）個滿足條件.
所以y2-8y+15=（1y-3）（1y-5）=（y-3）（y-5）
從以上的解題過程可以發現：當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，每個因數的符號與一次項係數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，其中絕對值較大的因數的符號與一次項係數的符號相同。
第二種情況，對於二次項係數不為1的二次三項式：ax2+bx+c。
分別把二次項係數a和常數項c各自拆分成兩個因數a1和a2、c1和c2，使a1和a2的乘積結果等於二次項係數a，c1和c2的乘積結果是常數項c，並且a1與（c1或c2）中的任意乙個相乘所得的積加上a2與（c1或c2）中剩下來的那個因數相乘所得的積所得的和正好等於一次項係數b。
如圖：只要能滿足：a=a1a2，c=c1c2，並且b=a1c2+a2c1。則ax2+
bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=
（a1x+c1）（a2x+c2）
例：分解因式：3x2-10x+3
解： 二次項係數 3=1×3
常數項 3=1×3=-1×（-3）
經過多次嘗試，可以發現只有（4）滿足條件。
所以3x2-10x+3=（x-3）（3x-1）。
從以上的解題過程我們發現：當常數項為正數時，把它分解為兩個同號因數的積，每個因數的符號與一次項係數的符號相同；當常數項為負數時，把它分解為兩個異號因數的積，並且使得十字連線上的兩個數的乘積結果絕對值較大的一組的等號與一次項係數的符號相同。
用十字相乘法分解因式還要注意避免以下兩種錯誤：一是沒有認真驗證交叉相乘的兩個積的和是否等於一次項係數；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母。
二、「十字相乘法」的應用
「十字相乘法」在數學題中的運用可謂十分廣泛，下面筆者將通過幾個例題展現有關「十字相乘法」因式分解的相關知識的應用。
例1 解方程：14x2-67x+18=0
解：將方程左邊分解因式，得（2x-9）（7x-2）=0
所以方程的解是x1=9/2，x2=2/7。
方程是數學知識很重要的一部分內容，解方程無疑是必修內容，方法也是因題目而異，甚至一道題目就有多種解法。這道題用「十字相乘法」因式分解的方法來解速度更快。
例2 求二次函式y=14x2-67x+18與x軸的兩個交點座標。
解：因為一元二次方程14x2-67x+18
=0的解是x1=9/2，x2=2/7。
所以，二次函式y=14x2-67x+18與x軸的兩個交點座標為（9/2，0）和（2/7，0）。
求函式影象與x軸的交點座標是學習函式知識經常碰到的乙個問題，求二次函式與x軸的交點座標往往是學生感到比較困難的一節內容，它與相應的二次方程的解題運算有著密切的聯絡，能快速解方程則讓學生在解這類題目時就感到輕鬆許多。
例3 求二次不等式14x2-67x+18>0的解集。
解：相對應的二次函式y=14x2-67x+18的影象開口方向向上，且與x軸的兩個交點座標為（9/2，0）和（2/7，0）。所以只有當x<2/7或x>9/2的時候才能使函式值y>0。
即二次不等式14x2-67x+18>0的解集是x<2/7或x>9/2。
二次不等式的內容到高中才出現，從上面的例題可以看到，利用「十字相乘法」快速解方程是解題的關鍵。
「十字相乘法」應用於分解因式、求解一元二次方程、求二次函式與x軸的交點座標、求二次不等式的解集等問題時，解題速度較快，能夠節省很多做題時間，也不容易出錯，特別是到高中或大學學習更深層次的數學時，「十字相乘法」在解題時更是得心應手。但是，在用「十字相乘法」進行因式分解的時候，需要經過多次嘗試，甚至會出現有的二次三項式根本無法用「十字相乘法」來分解因式，教師要讓學生明白，並不是每乙個二次三項式都適合用「十字相乘法」來分解因式，它只適用於能在實數範圍內分解的二次三項式。
教師在教學過程中應讓學生盡量多的掌握一些解題方法與技巧，以減輕學生的解題難度，提高學生的學習興趣。
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