一元二次方程的解法之因式分解法
解題技巧：
如果兩個因式的積等於0，那麼這兩個方程中至少有乙個等於0，即若pq=0時，則p=0或q=0。
用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0，然後看看是否能用提取公因式發、公式法（這裡指的是分解因式中的公式法）或十字相乘法；（2）如果能就將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。
（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
關鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公因式法、公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法等。
例用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）； （3）。
練習一1．選擇題
(1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )
a．x1＝－16，x2＝8 b．x1＝16，x2＝－8 c．x1＝16，x2＝8 d．x1＝－16，x2＝－8
(2)下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有乙個公共解是( )
a．x＝ b．x＝2c．x＝1d．x＝－1
(3)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解為( )
a．x1＝，x2＝3 b．x＝ c．x1＝－，x2＝－3 d．x1＝，x2＝－3
(4)方程(y－5)(y＋2)＝1的根為( )
a．y1＝5，y2＝－2 b．y＝5 c．y＝－2d．以上答案都不對
(5)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根為( )
a．x1＝1，x2＝－5 b．x1＝－1，x2＝－5 c．x1＝1，x2＝5 d．x1＝－1，x2＝5
(6)一元二次方程x2＋5x＝0的較大的乙個根設為m，x2－3x＋2＝0較小的根設為n，則m＋n的值為( )
a．1b．2c．－4d．4
(7)已知三角形兩邊長為4和7，第三邊的長是方程x2－16x＋55＝0的乙個根，則第三邊長是( )
a．5b．5或11c．6d．11
(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的個數是( )
a．0b．1c．2d．3
2．填空題
(1)方程t(t＋3)＝28的解為_______．(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解為
(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解為4)關於x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解為5)方程x(x－)＝－x的解為
3．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋12x＝02)4x2－1＝0； （3） x2＝7x； (4)x2－4x－21＝0；
(5)(x－1)(x＋3)＝12 (6)3x2＋2x－1＝0 (7)10x2－x－3＝0 (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0
4．用適當方法解下列方程：
(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； （3）x2－3x＋1＝0； (4)x2－2x－3＝0；
(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；(7)(1＋)x2－(1－)x＝0；
（8) x2－(5＋1)x＋＝0 （9)2x2－8x＝7(精確到0．01)
（10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0
5．解關於x的方程：
(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；
(3)x2－2mx－8m2＝04)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．
6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，試求的值．
7．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．
8．請你用三種方法解方程：x(x＋12)＝864．
9．已知x2＋3x＋5的值為9，試求3x2＋9x－2的值．
10．一跳水運動員從10公尺高台上跳水，他跳下的高度h(單位：公尺)與所用的時間t(單位：秒)的關係式h＝－5(t－2)(t＋1)．求運動員起跳到入水所用的時間．
11．為解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我們可以將x2－1視為乙個整體，然後設x2－1＝y，則y2＝(x2－1)2，原方程化為y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
當y＝1時，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．
當y＝4時，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解為x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝．
以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現了轉化的思想．
(1)運用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．
(2)既然可以將x2－1看作乙個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎？
練習二（一）基礎測試：（每題3分，共18分）
1．因式分解結果為 ，因式分解結果為 ．
2．因式分解結果為的根為
3．一元二次方程的解是
4．小華在解一元二次方程x2－4x=0時．只得出乙個根是x=4,則被他漏掉的乙個根是x=____．
5．若關於的方程的乙個根是0，則另乙個根是
6．經計算整式與的積為,則的所有根為（ ）
a． b．
cd．（二）能力測試：（7，8，9，10題每題3分，11題每個方程7分，共47分）
7．三角形一邊長為，另兩邊長是方程的兩實根，則這是乙個三角形．
8．三角形的每條邊的長都是方程的根，則三角形的周長是
9．關於x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋m2－1＝0有一根為0，則m的值為（ ）．
a． 1 b． －1 c． 1或－1 d．
10．將4個數排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義，上述記號就叫做2階行列式．若，則
11．用因式分解法解下列方程：
（1）（2）（3）
（4） （5）
（三）拓展測試：（12，13，14每題5分，15，16每題10分，共35分）
12．若，則
13．關於的一元二次方程的兩實根都是整數，則整數的取值可以有（ ）
a．2個 b．4個 c．6個 d．無數個
14．若關於x的多項式x2－px－6含有因式x－3，則實數p的值為（ ）
a．－5 b．5 c．－1 d．1
15．如果方程與方程有乙個公共根是3，求的值，並分別求出兩個方程的另乙個根．
16．如圖所示，在長和寬分別是、的矩形紙片的四個角都剪去乙個邊長為的正方形．
（1）用，，表示紙片剩餘部分的面積；
（2）當=6，=4，且剪去部分的面積等於剩餘部分的面積時，求正方形的邊長．
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