習題 ２.1
1. 證 ：由內積定義，易知 (u, v) 滿足
① (v, u)= == (u, v)
② (u, v)= = (u, v) , r
③ 設 w=，則
( (u+v), w)=
u, w)+ (v, w)
④ (u, u)= (當 u時)
故v是歐氏空間.
2. 解：方法同上.
3. 解：（1）因為，當且時，，故該實數不是內積.
（2）取，有，所以，故該實數不是內積.
（3）設，則有
==（）
當時，；當，存在使得，從而
故該實數為內積.
4. 解：（1）與（2）均不構成歐氏空間；（3）與（4）是.
5. 解： == .
6. 解： （1） ， ，
，，，，所以度量矩陣
（2）， 在基1，x，x2下的座標為，，所以.
7. 解：(1) (,) =a= ( ,)
a= (a)+ (a)
a0 (因為a正定，對, 正定二次
型a0 ).
所以，此時r構成歐氏空間.
(2) (,)=a =
故該自然基在此特殊內積定義下的度量矩陣為a．
(3) .
8. 證：由不等式, 取
， 代入即得.
9. 證：考察++= ,兩端分別與
作內積得方程組
由於上述方程組僅有零解(意味著線性無關)
的充要條件是係數行列式det△，從而得證.
10. 證： 設基（i）與基（ii）的度量矩陣分別為a與b，向量在（i）與（ii）下的座標為x1與x2，向量在（i）與（ii）下的座標為y1與y2.
需證明.設從基（i）至基（ii）的過渡陣為c，因為x1=cx2，，而ctac=b，於是有
11. 解： (1) u=v , =0
由 , u與v必共線，
即成比例 u=v ,且0 ;
(2) u=v (0), =
，u與v必共線，且方向相反，
即 u=v () .
12. 解： (1)
(2)(3)13. 解：設單位向量為有
得,故14. 解：先正交化.取, 令, 欲使與正交，即
0只要選
因此 同理，令 , 使它同時與正交，只要選
所以再單位化得
15. 解：先正交化.
再單位化得p 的乙個標準正交基為
16. 解：由
不難得到基礎解系
它是解空間的一組基，將其正交化得
再單位化得標準正交基
.17. 解：（1）由於，，，，，，所以
（2）由基（i）到基（ii）的過渡矩陣為,於是
b=ct .
（3）利用schmidt正交化方法將基（i）標準正交化得
，,單化化
18. 解：因度量矩陣a對稱正定，所以存在正交矩陣q，使得，經計算，.令，則有ctac=i，即a與i相合，其中c是由基改變到標準正交基的過渡過矩陣.由可得的一組標準正交基
19. 解 ： 必要性.因為
u ,v) =
此時，推得 ()=10 ()
故為標準正交基.
充分性顯然.
20. 解：因為
所以是標準正交基.
21. 證： 因為a對稱正定，所以存在正交矩陣q，使得，其中是a的特徵值，它們都是正數.記d=diag（），則，令
qd-1qt
顯然c為對稱正定矩陣，且有ctac=i.因此，由=
c確定的基的度量矩陣為b=ctac=i，從而該基是vn的一組標準正交基.
22. 解：由已知
取標準化得v的一組標準正交基
.23. 解：由於在給定基下的座標為：
它們線性無關,所以也線性無關，從而構成v1的一組基，標準正交化得
，.24. 證：取則，於是.又取，當時，有，故是u的標準正交基.
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