第五講對角化與jordan標準形
一、正規矩陣
1. 實對稱矩陣與厄公尺矩陣
實對稱矩陣：實矩陣
厄公尺矩陣：復矩陣
實反對稱矩陣：實矩陣
反厄公尺矩陣：復矩陣
2. 正交矩陣和酉矩陣
正交矩陣：實矩陣 （）
酉矩陣：復矩陣
3. 正交相似變換和酉相似變換
為正交矩陣，為實矩陣，為對的正交相似變換；
為酉矩陣，為復矩陣，為對的酉相似變換。
4. 正規矩陣
實矩陣，若滿足，則為實正規矩陣；
復矩陣，若滿足，則為復正規矩陣。
顯然，實對稱矩陣、實反對稱矩陣、正交矩陣均為實正規矩陣；
厄公尺矩陣、反厄公尺矩陣、酉矩陣均為復正規矩陣。
5. 相似矩陣具有相同的特徵多項式相同的特徵值、跡、行列式。
二、酉對角化
1. schur引理：設數是階方陣的特徵值，則存在酉矩陣，使
[證明] 設是的屬於特徵值的特徵向量，即，
，並由其擴充為一組標準正交向量
令，為酉矩陣
對進行酉相似變換：
第一列：
相似矩陣具有相同的特徵值，因此，對於，其特徵值為，與上相同，可得乙個酉矩陣，使得
依次類推，分別可找到酉矩陣使
令是酉矩陣，
[得證]
什麼樣的矩陣能夠通過酉相似變換成為對角陣呢？
2. 定理：階方陣，酉相似於對角陣的充要條件是：為正規陣（實或復）。
[證明] 由schur引理：存在酉矩陣使得
是的特徵值。
充分性:已知為正規陣，即，
要證由對角元素相等可得，，，
必要性：已知存在酉矩陣使
，要證為正規矩陣。
可逆[得證]
說明：（1）不能酉對角化的矩陣仍有可能採用其它可逆變換將其對角化，例如
不是正規矩陣
但，兩個特徵值互異，可以相似變換對角化。可見，可以對角化，但不能酉對角化。
（2）實正規矩陣一般不能通過正交相似變換對角化。（若特徵值全為實數，則可正交相似對角化）
如 ，特徵值為， 正規陣，但不可能對角化。
不能對角化的矩陣一定具有多重特徵值，對於不能對角化的矩陣也希望找到某種標準形式，使之盡量接近對角化的形式——jordan標準形。
三、jordan標準形
1. jordan標準形的存在定理
任何方陣均可通過某一相似變換化為如下jordan標準形：
其中稱為jordan塊矩陣。為的特徵值，可以是多重的。
說明：（1）中的特徵值全為，但是對於不同的、，有可能，即多重特徵值可能對應多個jordan塊矩陣。
（2）jordan標準形是唯一的，這種唯一性是指：各jordan塊矩陣的階數和對應的特徵值是唯一的，但是各jordan塊矩陣的位置可以變化。
2. 多項式矩陣（又稱為陣）
稱為的多項式矩陣，其中矩陣元素為的多項式。
多項式矩陣的初等變換
初等變換的目的是為了在保持矩陣原有屬性的前提下形式上變得簡單。
（1） 互換兩行（列）
（2） 以非零常數乘以某行（列） [這裡不能乘以的多項式或零，這樣有可能改變原來矩陣的秩和屬性]
（3） 將某行（列）乘以的多項式加到另一行（列）
多項式矩陣的標準形式：採用初等變換可將多項式矩陣化為如下形式：
其中，多項式是首一多項式（首項係數為1，即最高冪次項的係數為1），且、、、，即是的因式。
（1） 多項式矩陣的標準形式不隨所採用的初等變換而變，故稱為不變因子。
（2） 不變因子又可採用如下方法求得：設為的所有階子行列式的最大公因式，則，。稱為階行列式因子。
（3） 將每個不變因子化為不可約因式，這些不可約因式稱為的初等因子，全體初等因子稱為初等因子組。例如:
初等因子組中應包括兩個。
3. jordan標準形的求法
（1） 求出特徵多項式的初等因子組，設為、、、。
（2） 寫出各jordan塊矩陣（乙個初等因子對應乙個jordan塊矩陣）
（3） 合成jordan矩陣：
例：求矩陣的jordan標準形。
[解] 寫出特徵矩陣
第1～4行與第1、2、4、5列交叉的元素形成的四階子式為
第1、2、3、5行與1、3、4、5列交叉的元素形成的四階子式為
這兩個子式的公因式為1，故
第1～5行與第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五階子式為
第1、2、3、5、6行與第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五階子式為
其它五階子式均含因式，故
特徵值行列式為，從而有
，，● 初等因子組為
● 相應的jordan塊為
● jordan標準形為
作業：p106 1(1)(2), 2, 4, 5, 10
p79 19（1）（3）
05對角化與Jordan標準形
一 正規矩陣 1.實對稱矩陣與厄公尺矩陣 實對稱矩陣 實矩陣 厄公尺矩陣 復矩陣 h表示轉置的共軛 實反對稱矩陣 實矩陣 反厄公尺矩陣 復矩陣 2.正交矩陣和酉矩陣 正交矩陣 實矩陣 酉矩陣 復矩陣 3.正交相似變換和酉相似變換 為正交矩陣，為實矩陣，為對的正交相似變換 為酉矩陣，為復矩陣，為對的酉...
2019考研數學考點 矩陣的相似對角化
2016考研數學衝刺複習進行中，下面把可能會出現的極值計算題型總結如下，希望對同學們有所幫助。極值的計算是考研的重點，尤其是數二，每年都會出一道大題，數二的考生，也尤其要注意積分的應用這塊，是每年考研的重點和難點。根據往年考研真題分析，很可能會出一道積分的幾何應用和求極值相結合的題目，比如求旋轉體的...
03第三講對角化與Jordan標準形
引例 如何解線性微分方程組及怎樣進行矩陣的高次冪運算等矩陣對角化的作用和重要性.線性變換的特徵值和特徵向量 所以 t的特徵值與a的特徵值相同,t的對應於的特徵向量的座標就是a的對應於的特徵向量.即對應的特徵向量連同0向量構成的空間 特徵子空間 一 正規矩陣 1.實對稱矩陣與厄公尺特 hermite ...