矩陣論習題

1、 設為歐氏空間的乙個標準正交基，且。證明： 線性變換是正交變換當且僅當。

證明：而是正交變換

所以得：

因此or

2、 若是實對稱矩陣，是實反對稱矩陣，且，則矩陣是酉矩陣。

證明：下面接著證明，

即證明3、 設，用jordan標準形方法計算。（書p150，7）我算出來的是而書上答案是

書上答案錯了，用待定係數法算出的正確答案是與matlab中用expm（a）計算出的結果一致：

7.3891 0 07.3891 0.

0000 7.38917.3891 -7.

3891 14.7781該題的難點是jordan變換矩陣p的計算，尤其是第二個特徵向量的選取，否則算不出相應的廣義特徵向量。

4、 證明：正交矩陣（酉矩陣）的特徵值的模為1，不同特徵值所對應的特徵向量是正交的。

此題的證明上課時在黑板上寫過

設則兩邊共軛轉置，得

因此因為，所以

因為（？？理由自己想一下），所以

矩陣論習題

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