第一講線性空間
一、線性空間的定義及性質
1. 集合、數域、對映
（1）集合：籠統的說是指一些事物（或者物件）組成的整體。
集合的表示：列舉法、概括法.
集合的運算：並（），交（）.
另外，集合的「和」（＋）：並不是嚴格意義上集合的運算，因為它限定了集合中元素須有可加性.
（2）數域：設k是由一些複數組成的集合，其中包括0與1. 如果中任意兩個數（這兩個數也可以相同）的和、差、積、商（除數不為零）仍然是中的數，那麼k就稱為數域.
注1. 數域是一種數集，對四則運算封閉（除數不+為零）.
例1.1 常見的數域：有理數域q 、實數域r和複數域c. 實數域和複數域是工程上較常用的兩個數域.
例1.2 ，，，
都是數域，但不是數域.
注2. 所有的數域都包含有理數域q，即有理數域q是最小的數域.
注3.在有理數域q與實數域r之間存在無窮多個數域；在實數域r與複數域c之間不存在其他的數域.
（3）對映
2. 線性空間的定義：
線性空間是線性代數最基本的概念之一，也是學習現代矩陣理論的重要基礎.線性空間的概念是某類事物從量的方面的乙個抽象.
定義：設是乙個非空集合，其元素用等表示，並稱之為向量；是乙個數域，其元素用等表示. 如果滿足下列條件（有8條性質，分兩類）
（）在中定義乙個「加法」運算，即當時，有唯一的和（封閉性），且加法運算滿足下列性質：
（1）結合律：；
（2）交換律：；
（3）零元律：存在零元素，使；
（4）負元律：對於任一元素，存在一元素，使，且稱為的負元素，記為，則有.
（）在中定義乙個「數乘」運算，即當，時，有唯一的（封閉性），且數乘運算滿足下列性質
（5）數因子分配律：；
（6）分配律：；
（7）結合律：；
（8）單位律： ；
則稱為數域上的線性空間.
注意：1）線性空間不能離開某一數域來定義，因為同乙個集合，如果數域不同，該集合構成的線性空間也不同.
2）兩種運算、八條性質.
數域k中的運算是具體的四則運算，而v中所定義的加法運算和數乘運算則可以十分抽象.
3）除了兩種運算和八條性質外，還應注意唯一性、封閉性. 唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現不封閉的情況：集合小、運算本身就不滿足.
★☆ 當數域為實數域時，就稱為實線性空間；當為複數域，就稱為複線性空間.
例1.3 設＝，其「加法」及「數乘」運算定義為
證明：是實數域r上的線性空間.
【證明】首先需要證明兩種運算的唯一性和封閉性
（1）唯一性和封閉性：
唯一性顯然；
若，則有
封閉性得證.
（2）八條性質
1），2），
3）是零元素：，
4）是的負元素： ，
5） 數因子分配律]，
6）[分配律]，
7）[結合律]
8單位律]
由此可證，是實數域r上的線性空間.
例1.4 線性空間舉例：
（1）所有實（或復）維向量集合（或），對維向量的加法及數乘維向量的運算，構成線性空間.
（2）所有階實矩陣的集合，階復矩陣的集合，對於矩陣的加法與數對矩陣的乘法兩種運算，都構成線性空間. 一般地，數域上全體矩陣的集合，對於矩陣的加法與數與矩陣的乘法兩種運算，構成線性空間.
3. 線性空間性質
定理：線性空間具有如下性質
（1）零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的；
（2）如下恒等式成立：，.
【證明】（1）零元素是唯一的：
設存在兩個零元素和，則由於和均為零元素， 按零元律有
所以， 即和相同，故只有乙個零元素.
任一元素的負元素也是唯一的：
假設，存在兩個負元素和，則根據負元律有
即和相同，故負元素唯一.
（2），.4. 線性相關性
線性空間中線性相關性概念與線性代數中向量組線性相關性概念類似.
（1）線性組合：
，稱為向量組的乙個線性組合.
（2）線性表示：
中某個向量可表示為其中某個向量組的線性組合，則稱可由該向量組線性表示.
（3）線性相關性：
如果存在一組不全為零的數，使
，則稱向量組線性相關，否則稱其線性無關.
★☆線性相關性概念是個非常重要的概念，有了線性相關性才有下面的線性空間的維數、基和座標。
5. 線性空間的維數
定義：線性空間中線性無關向量組所含向量最大個數稱為的維數，記為.
注1：線性空間的維數也就是中最大線性無關向量組所含向量個數。
注2：維數是n的線性空間稱為數域k上的n維線性空間，記為.
注3：當時，稱為無限維線性空間.
★☆本課程主要討論有限維線性空間。
例1.5 全體階實矩陣的集合構成乙個實線性空間（對於矩陣加法和數對矩陣的數乘運算），求其維數.
【解】乙個直接的方法就是找乙個最大線性無關組，其向量盡可能簡單。
令為這樣的乙個階矩陣，其（）元素為1，其餘元素為零.
顯然，這樣的矩陣共有個，構成乙個具有個向量的線性無關向量組
另一方面，還需說明向量個數最大. 對於任意的，都可由以上向量組線性表示，
——>即構成了最大線性無關向量組，所以該空間的維數為.
二、線性空間的基與座標
1. 基的定義：
設v是數域k上的線性空間，是屬於v的任意r個向量，如果它滿足
（1）線性無關；
（2）v中任一向量x均可由線性表示.
則稱為v的乙個基或基底，並稱為該基的基向量。
注1.基就是v中最大線性無關組；v的維數就是基中所含向量的個數。
注2.基是不唯一的，但不同的基所含向量個數相等.
例1.6 考慮全體複數所形成的集合c . 如果（複數域），則該集合對複數加法和複數的乘法構成線性空間，其基可取為，空間維數為；如果取（實數域），則該集合對複數加法及實數對複數的數乘構成線性空間，其基可取為，空間維數為.
2. 座標的定義：
稱線性空間的乙個基為的乙個座標系，，它在該基下的線性表示式為：
，則稱為x在該座標系中的座標或分量，記為
討論：（1）一般來說，線性空間及其向量是抽象的物件，不同空間的向量完全可以具有千差萬別的類別及性質。 但座標表示卻把它們統一了起來，座標表示把這種差別留給了基和基向量，由座標所組成的新向量僅由數域中的數表示出來。
（2）更進一步，原本抽象的「加法」及 「數乘」經過座標表示就演化為向量加法及數對向量的數乘。
①對應於②對應於
（3）同一向量在不同基（座標系）下的座標是不同的。後面我們還要研究這一變換關係。
定理：設是的乙個基，,則可唯一地表成的線性組合。
三、基變換與座標變換
基是不唯一的，因此，需要研究基改變時座標變換的規律。
1.過度矩陣與基變換
設是的舊基，是的新基，由於兩者都是基，所以可以相互線性表示
()，即其中c稱為由基到基的過渡矩陣。上式就給出了基變換關係，可以證明，c是可逆的。
2.座標變換
設，它在舊基下的線性表示為
它在新基下的線性表示為
則 ，
又 ，
所以 .
由於基向量的線性無關性，得到座標變換關係
例1.7 設矩陣空間的兩個基
（ⅰ）：
（ⅱ）：
（1）求由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣；
（2）求在基（ⅰ）與基（ⅱ）下有相同座標的矩陣.
【解】（1）取的基則有
其中於是即由基（ⅰ）到基（ⅱ）的過渡矩陣為
（2）設在基（ⅰ）與基（ⅱ）下的座標均為，則由座標變換公式得
即可求得該齊次線性方程組的通解為
（）於是在基（ⅰ）與基（ⅱ）下有相同座標的矩陣為
，（）.
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第一講集合
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