矩陣論簡明教程---徐仲（共計10道題）
1、 求矩陣的jordan標準形和相應的相似變換矩陣。
解答： ==d (), i－a有2階子式
4－4不是d ()的因子, 所以d ()=d ()=1, a的初等因子為－1, . a的jordan標準形為
j = 設a的相似變換矩陣為p=(p,p,p), 則由ap=pj得
解出p=
2.試將計算: ，其中
a=解答:設 f ()=. a的最小多項式為,作帶餘除法，得 f於是
f (a)= =
3.求矩陣的最小多項式
解答： i－a=，標準形, a的最小多項式為;
4.下列矩陣a是否正規矩陣？若是，試求出酉矩陣u，使得為對角矩陣：
a= 解答：a是實對稱矩陣. =,a有特徵值 10, 1, 1.
當=10時. 對應的齊次線性方程組 (10i－a)x=0的係數矩陣
由此求出特徵向量p=(－1, －2, 2) , 單位化後得 e= ().
當=1時, 對應的齊次線性方程組 (i－a)x=0的係數矩陣
～由此求出特徵向量 p=(－2, 1, 0) , p=(2, 0, 1) . 單位化後得 e=(),
e=(). 令
u=, 則 uau=
5.設ac是hermite矩陣，證明a是hermite正定矩形陣的充分必要條件是，存在hermite正定矩陣b，使得
證明：若a是hermit正定矩陣,則由定理1.24可知存在n階酉矩陣u, 使得
uau=,﹥0, i=1, 2, n.
於是a=uu = uuuu，令b=uu，則 a=b.
6.證明：對上的任一矩陣範數均有1
證明：因為i≠o, 所以＞0.從而利用矩陣範數的相容性得:
≦,即≧1
7.設u是n階酉矩陣，證明=1
利用定理2.12得
8．設為上的矩陣範數，為a的特徵值，證明
解答：設x是對應於的特徵向量, 則a.又設是c上與矩陣範數相容的向量範數,那麼
≦因＞0, 故由上式可得≦≦.
9.求矩陣的doolittle分解與crout分解。
1. doolite分解的說明,以3階矩陣為例:
計算方法如下:
(ⅰ) 先i框，後i+1框,先r後l.第1框中行元素為a的第1行元素；
（ⅱ）第2框中的為a中的對應元素減去第１框中同行的與同列的之積．第3框中的為a中的對應元素先減去第1框中同行的與同列的之積，再減去第2框中同行的與同列的之積；
（ⅲ）第2框中的為a中的對應元素先減去第1框中同行的與同列的之積，再除以.
10.用givens變換求矩陣的qr分解。
對a的第1列向量, 構造givens矩陣,
, 對的第1列向量, 構造,
, 令 , 則有. 於是
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