數學第ⅰ卷（共60分）
一、填空題：（本大題共14個小題,每小題5分,共70分．將答案填在答題紙上．）
1．已知集合，，，則
2．函式的定義域為
3．設命題；命題，那麼是的條件（選填「充分不必要」、「必要不充分」、「充要」、「既不充分也不必要」）．
4．已知冪函式在是增函式，則實數的值是
5．已知曲線在處的切線的斜率為2，則實數的取值是
6．已知等比數列中，，，則
7．函式圖象的一條對稱軸是，則的值是
8．已知奇函式在上單調遞減，且，則不等式的解集是
9．已知，則的值是
10．若函式（且）的值域為，則實數的取值範圍是
11．已知數列，滿足，，，則
12．設的內角的對邊分別是，為的中點，若且，則面積的最大值是
13．已知函式，若對任意的實數，都存在唯一的實數，使，則實數的最小值是
14．已知函式，若直線與交於三個不同的點，，（其中），則的取值範圍是
第ⅱ卷（共90分）
二、解答題 （本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．已知函式（）的圖象與軸相切，且圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為.
（1）求的值；
（2）求在上的最大值和最小值.
16．在中，角所對的邊分別是，已知，且.
（1）當，時，求的值；
（2）若角為銳角，求的取值範圍.
17．已知數列的前項和是，且滿足，.
（1）求數列的通項公式；
（2）在數列中，，，若不等式對有解，求實數的取值範圍.
18．如圖所示的自動通風設施.該設施的下部是等腰梯形，其中為2公尺，梯形的高為1公尺，為3公尺，上部是個半圓，固定點為的中點.是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和平行.
當位於下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風）.
（1）設與之間的距離為（且）公尺，試將通風窗的通風面積（平方公尺）表示成關於的函式；
（2）當與之間的距離為多少公尺時，通風窗的通風面積取得最大值？
19．已知函式，.
（1）求過點的的切線方程；
（2）當時，求函式在的最大值；
（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中為自然對數的底數，）.
20．已知數列各項均為正數，，，且對任意恆成立，記的前項和為.
（1）若，求的值；
（2）證明：對任意正實數，成等比數列；
（3）是否存在正實數，使得數列為等比數列.若存在，求出此時和的表示式；若不存在，說明理由.
2017-2018學年第一學期高三期中調研試卷
數學（附加）
21．【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩題，並在相應的答題區域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
a．（幾何證明選講）
如圖，為圓的直徑，在圓上，於，點為線段上任意一點，延長交圓於，.
（1）求證：；
（2）若，求的值.
b．（矩陣與變換）
已知矩陣，，求的值.
c．（極座標與引數方程）
在平面直角座標系中，直線的引數方程為（為引數），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系，圓的極座標方程為.
（1）求直線和圓的直角座標方程；
（2）若圓任意一條直徑的兩個端點到直線的距離之和為，求的值.
d．（不等式選講）
設均為正數，且，求證：.
【必做題】第22、23題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22．在小明的婚禮上，為了活躍氣氛，主持人邀請10位客人做乙個遊戲.第一輪遊戲中，主持人將標有數字1,2，…，10的十張相同的卡片放入乙個不透明箱子中，讓客人依次去摸，摸到數字6,7，…，10的客人留下，其餘的淘汰，第二輪放入1,2，…，5五張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數字3,4,5的客人留下，第三輪放入1,2,3三張卡片，讓留下的客人依次去摸，摸到數字2,3的客人留下，同樣第四輪淘汰一位，最後留下的客人獲得小明準備的禮物.已知客人甲參加了該遊戲.
（1）求甲拿到禮物的概率；
（2）設表示甲參加遊戲的輪數，求的概率分布和數學期望.
23．（1）若不等式對任意恆成立，求實數的取值範圍；
（2）設，試比較與的大小，並證明你的結論.
2017—2018學年第一學期高三期中調研試卷
數學參***及評分標準
正題一、填空題
123．充分不必要
4．156．4
789．
101112．
1314．
二、解答題
15．解：（1）∵圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為，
∴的週期為，∴且，
∴，此時，
又∵的圖象與軸相切，∴且，
∴；（2）由（1）可得，
∵，∴，
∴當，即時，有最大值為；
當，即時，有最小值為0.
16．解：由題意得，.
（1）當，時，，，
解得或；
（2），
∵為銳角，∴，∴，
又由可得，
∴.17．解：（1）∵，∴，
∴，又當時，由得符合，∴，
∴數列是以1為首項，3為公比的等比數列，∴通項公式為；
（2）∵，∴是以3為首項，3為公差的等差數列，
∴，∴，即，即對有解，
設，∵，
∴當時，，當時，，
∴，∴，
∴.18．解：（1）當時，過作於（如下圖），
則，，，
由，得，
∴，∴；
當時，過作於，連線（如下圖），
則，，∴，
∴，綜上：；
（2）當時，在上遞減，
∴；2°當時， ，
當且僅當，即時取「=」，
∴，此時，∴的最大值為，
答：當與之間的距離為公尺時，通風窗的通風面積取得最大值.
19．解：（1）設切點座標為，則切線方程為，
將代入上式，得，，
∴切線方程為；
（2）當時，，，
∴，，當時，，當時，，
∴在遞增，在遞減，
∴當時，的最大值為；
當時，的最大值為；
（3）可化為，
設，，要證時對任意均成立，只要證，下證此結論成立.
∵，∴當時，，
設，則，∴在遞增，
又∵在區間上的圖象是一條不間斷的曲線，
且，，∴使得，即，，
當時，；當時，，；
∴函式在遞增，在遞減，
∴，∵在遞增，∴，即，
∴當時，不等式對任意均成立.
20．解：（1）∵，∴，又∵，∴；
（2）由，兩式相乘得，
∵，∴，
從而的奇數項和偶數項均構成等比數列，
設公比分別為，則，，
又∵，∴，即，
設，則，且恆成立，
數列是首項為，公比為的等比數列，問題得證；
（3）在（2）中令，則數列是首項為3，公比為的等比數列，∴，
且，，，，
∵數列為等比數列，∴
即即解得（捨去），
∴，，從而對任意有，
此時，為常數，滿足成等比數列，
當時，，又，∴，
綜上，存在使數列為等比數列，此時，.
附加題21．a.解：（1）證明：連線，∵，∴，
又，∴為等邊三角形，
∵，∴為中邊上的中線，
∴；（2）解：連線，
∵，是等邊三角形，
∴可求得，，
∵為圓的直徑，∴，∴，
又∵，∴，∴，
即.b.解：矩陣的特徵多項式為，
令，解得矩陣的特徵值，，
當時特徵向量為，當時特徵向量為，
又∵，∴.
c.解：（1）直線的普通方程為；
圓的直角座標方程為；
（2）∵圓任意一條直徑的兩個端點到直線的距離之和為，
∴圓心到直線的距離為，即，
解得或.
d.證：∵，，，∴，
∴.22．解：（1）甲拿到禮物的事件為，
在每一輪遊戲中，甲留下的概率和他摸卡片的順序無關，
則，答：甲拿到禮物的概率為；
（2）隨機變數的所有可能取值是1,2,3,4.，，
，，隨機變數的概率分布列為：
所以.23．解：（1）原問題等價於對任意恆成立，
令，則，
當時，恆成立，即在上單調遞增，
∴恆成立；
當時，令，則，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，即存在使得，不合題意；
綜上所述，的取值範圍是.
（2）在（1）中取，得，
令，上式即為，
即，上述各式相加可得.
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