2016屆高三上學期收心測試數學試題
數學試卷
第ⅰ卷（共60分）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．
1.若集合，，則 ▲ ．
【答案】
考點：1.集合；2.集合間的運算.
2.已知複數滿足，則 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：顯然，故答案為：.
考點：1.複數；2複數的計算.
3.若拋物線的準線經過雙曲線的乙個焦點，則 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：根據題意拋物線的準線方程為：，雙曲線的乙個焦點為：,所以解得:,所以答案為:.
考點：1.拋物線的準線方程；2.雙曲線的焦點座標.
4.函式的最小正週期為 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：將函式變形為：，所以其最小正週期為：,所以答案為.
考點：1.三角函式的公式；2.函式的最小正週期.
5.如果3個正整數可作為乙個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：根據題意，能構成勾股數的為：，同時從中任取乙個不同的數,共有：,所以所求概率為:.
考點：1.組合；2.古典概型.
6.在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）如圖所示:
若將運動員按成績由好到差編為1~35號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區間上的運動員人數為 ▲ ．
【答案】
考點：1.分組；2.系統抽樣.
7.如圖是乙個演算法流程圖，若輸入n的值是6，則輸出s的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：開始；否，迴圈：否；迴圈：,否,迴圈:,否,迴圈:,停止輸出:,結束.所以答案為.
考點：1.程式框圖；2.迴圈結構.
8.設曲線在點處的切線與曲線上點p處的切線垂直，則的座標為 ▲ ．
【答案】
考點：1.函式的切線；2.導函式的幾何意義；2.兩直線垂直.
9.在梯形中，， 將梯形繞所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：根據題意所得幾何體的體積為：,所以答案為:.
考點：1.旋轉體；2.空間幾何體的體積.
10.若直線與圓相交於a,b兩點，且（o為座標原點），則= ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：根據題意可知圓心為，半徑為，所以畫出影象知圓心到直線的距離為：，解得：.
考點：1.點到直線的距離；2.勾股定理.
11.數列中為的前項和，若，則 ▲ ．
【答案】
【解析】
試題分析：根據題意，根據等比數列的定義知：是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以,解得:.
考點：1.等比數列的定義；2.等比數列的前項和.
12.設四邊形abcd為平行四邊形，，.若點m，n滿足，，則 ▲ ．
【答案】
考點：1.
13.已知則當a的值為 ▲ 時取得最大值.
【答案】
【解析】
試題分析：根據題意（當且僅當即時取「」），所以答案為：.
考點：1.基本不等式；2.利用基本不等式求最值.
14.設函式若恰有2個零點，則實數的取值範圍 ▲ ．
【答案】或
【解析】
試題分析：當時，無零點，不符合題意；當時，顯然不符合題意，當時，，時，有乙個零點，若滿足題意，只須使時，只需要使即，所以；當時，時，無零點，當時，須有兩個零點，則，解得：，綜上，的取值範圍為：
或.考點：1.分段函式；2.分情況討論.
第ⅱ卷（共90分）
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.的內角所對的邊分別為，，．向量與平行．
（i）求；
（ii）若，，求的面積．
【答案】（i）；（ii）.
試題分析：（i）因為，所以，
由正弦定理，得…………………4分
又，從而，由於，所以………………………7分
（ⅱ）解法一：由餘弦定理，得，而
得，即，因為，所以，…………………11分
故的面積為…………………14分
解法二：由正弦定理，得從而，又由，知，
所以.故
所以的面積為14分
考點：1.正弦定理；2.三角形的面積公式.
16.如圖，在四稜錐p－abcd中，四邊形abcd是矩形，側面pad⊥底面abcd，
若點e、f分別是pc，bd的中點.
⑴ 求證：ef∥平面pad；
⑵ 求證：平面pad⊥平面pcd.
【答案】（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【解析】
試題解析：（i）要證明線面平行需證明線線平行，需證明ef平行平面pad內的一條直線，顯然取pd中點為h，ad中點為g，鏈結fg，gh，he，利用三角形中位線性質得到證明；（ii）要證麵麵垂直，需證明線面垂直，根據題意顯然cd⊥面pad，進而證明平面pad⊥平面pcd.
試題分析：⑴設pd中點為h，ad中點為g，鏈結fg，gh，he， g為ad中點，f為bd中點， gf，
同理eh，……………2分
abcd為矩形， abcd， gfeh， efgh為平行四邊形，……………4分
ef∥gh，……………6分
又∥面pad. ……………7分
（用ef∥ad證明當然可以）
考點：1.線面平行的判定定理；2.麵麵垂直的判定定理.
17.為數列{}的前項和，已知＞0， =.
（ⅰ）求{}的通項公式；
（ⅱ）設 ,求數列{}的前項和.
【答案】（i）；（ii）.
【解析】
試題分析：（i）根據題意，利用，將已知條件進行變形，進而化簡求得，利用等差數列的定義得到數列是首項為，公差為的等差數列，所以=；（ii）根據（i）知，利用裂項相消法求得的前項和.
試題解析：（ⅰ）當時，因為所以………2分
當時，即因為所以………5分
所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以=；………7分
（ⅱ）由（ⅰ）知， =，………10分
所以數列{}前n項和為= =.………14分
考點：1.等差數列定義；2.裂項相消法求和.
18. 如圖，有一塊扇形草地omn，已知半徑為r，，現要在其中圈出一塊矩形場地abcd作為兒童樂園使用，其中點a、b在弧mn上，且線段ab平行於線段mn
（1）若點a為弧mn的乙個三等分點，求矩形的面積s；
（2）當a在何處時，矩形的面積s最大？最大值為多少？
【答案】（i）；（ii）當a在弧mn的四等分點處時，.
試題解析： （1）解：如圖，作於點h，交線段cd於點e，連線oa、ob，
， …………2分
， …………4分
7分（2）設8分
則，10分12分即時， …………14分
，此時a在弧mn的四等分點處
答：當a在弧mn的四等分點處時16分
考點：1.正弦定理；2.三角公式.
19. 如圖，橢圓經過點，且離心率為.
()求橢圓的方程；
()經過點的直線與橢圓交於不同兩點（均異於點），證明：直線與的斜率之和為定值
【答案】（i）；（ii）證明見解析..
試題解析：（ⅰ）由題意知綜合，解得，，
所以橢圓方程為………5分
()由題義知，當直線垂直軸時，即斜率不存在時，方程為
與橢圓聯立可求座標為，所以有………7分
當直線不垂直軸時，設的斜率為，則直線的方程為，代入，得，（1）
由已知，設，，則是（1）的兩個根，由韋達定理得
，（2）………9分
從而直線與的斜率之和
………12分
把（2）代人得………14分
.為定值，綜上，結論成立………16分
考點：1.橢圓的標準方程；2.韋達定理.
20.已知函式f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
(ⅰ)設g(x)為f(x)的導函式，討論g(x)的單調性；
(ⅱ)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恆成立，且在區間內有唯一解.
【答案】（i）當時，單調遞減，當時，單調遞增.；（ii）證明見解析.
試題分析：(ⅰ)由已知，函式f(x)的定義域為(0，＋∞)
g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)所以g'(x)＝2－
當時，單調遞減，當時，單調遞增.………6分
(ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得.
令φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx
則φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0………8分
於是存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0，令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)
由u'(x)＝1－≥0知，函式u(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增,故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1 即a0∈(0，1) ,當a＝a0時，有f '(x0)＝0，f(x0)＝φ(x0)＝0………10分
再由(ⅰ)知，f '(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增
當x∈(1，x0)時，f '(x)＜0，從而f(x)＞f(x0)＝0當x∈(x0，＋∞)時，f '(x)＞0，從而f(x)＞f(x0)＝0
又當x∈(0，1]時，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0， 故x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0
綜上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恆成立，且f(x)＝0在區間(1，＋∞)內有唯一解.
………16分
考點：1.利用導函式求單調區間；2.構造法.
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