徐州市2017-2018學年度高三年級上學期期中考試
2．錐體的體積公式：，其中是錐體的底面面積，是高．
一．填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置．
1．設集合，，則 ▲ ．
2．已知複數滿足，其中為虛數單位，則複數
的實部為 ▲ ．
3．函式的週期為 ▲ ．
4．已知一組資料：的平均數為，則該組
資料的方差為 ▲ ．
5．雙曲線的離心率為 ▲ ．
6．從2個黃球，3個紅球中隨機取出兩個球，則兩球顏色
不同的概率是 ▲ ．
7．執行如圖所示的流程圖，則輸出的值為 ▲ ．
8．各稜長都為的正四稜錐的體積為 ▲ ．
9．已知公差不為零的等差數列的前項和為，且
，若成等比數列，則的值為 ▲ ．
10．如圖，在半徑為2的扇形中，，為上的一點，若，則的值為 ▲ ．
11．已知函式（為自然對數的底數），
若，則實數的取值範圍
為 ▲ ．
12．已知實數滿足，，則
的最小值為 ▲ ．
13．已知點是圓上的動點，點，若直線上總存在點，使點恰是線段的中點，
則實數的取值範圍為 ▲ ．
14．已知函式，若存在，使，則實數的取值範
圍為 ▲ ．
二．解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或計算步驟．
15．(本小題滿分14分)
已知的內角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面積．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在三稜錐中，，，為的中點，為上一點，且平面．
求證：（1）直線平面；
（2）平面平面．
17．（本小題滿分14分）
如圖，有一塊半圓形空地，開發商計畫建乙個矩形游泳池及其矩形附屬設施，並將剩餘空地進行綠化，園林局要求綠化面積應最大化．其中半圓的圓心為，半徑為，矩形的一邊在直徑上，點、、、在圓周上，、在邊上，且，設．
（1）記游泳池及其附屬設施的占地面積為，求的表示式；
（2）怎樣設計才能符合園林局的要求？
18．（本小題滿分16分）
如圖，在平面直角座標系中，橢圓的左頂點為，離心率為，過點的直線與橢圓交於另一點，點為軸上的一點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.
19．（本小題滿分16分）
已知數列的前項和為，滿足，．數列滿足，，且．
（1）求數列和的通項公式；
（2）若，數列的前項和為，對任意的，都有，求實數的取值範圍；
（3）是否存在正整數，，使，，（）成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的，，若不存在，請說明理由．
20．（本小題滿分16分）
已知函式(,是自然對數的底數).
（1）若函式在區間上是單調減函式,求實數的取值範圍；
（2）求函式的極值；
（3）設函式圖象上任意一點處的切線為，求在軸上的截距的取值範圍．
絕密★啟用前
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數學ⅱ(附加題)
21．【選做題】本題包括a、b、c、d四小題，請選定其中兩小題，並在相應的答題區域內作答，若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
a．[選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）
如圖，是圓的切線，切點為，是過圓心的割線且交圓於點，過作圓的切線交於點．
求證：．
b．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
已知矩陣，若直線在矩陣對應的變換作用下得到的直線過點，求實數的值．
c．[選修4-4：座標系與引數方程]（本小題滿分10分）
在極座標系中，圓的方程為，以極點為座標原點，極軸為軸正半軸建立平面直角座標系，設直線的引數方程為（為引數），若直線與圓恒有公共點，求實數的取值範圍.
d．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）
設均為正數,且,求證:.
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫
出文字說明、證明過程或演算步驟．
22．（本小題滿分10分）
如圖，在三稜錐中，兩兩垂直，點分別為稜的中點，在稜上，且滿足，已知.
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值.
23．（本小題滿分10分）
某同學在上學路上要經過、、三個帶有紅綠燈的路口.已知他在、、三個路口遇到紅燈的概率依次是、、，遇到紅燈時停留的時間依次是秒、秒、秒，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的.
（1）求這名同學在上學路上在第三個路口首次遇到紅燈的概率；，
（2）求這名同學在上學路上因遇到紅燈停留的總時間.
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數學i參***
一．填空題：
1． 2． 3． 6 4． 5． 6． 7． 4 8．
9．88 10． 11． 12． 13． 14．
二．解答題：
15．（1）因為，
由正弦定理，得2分
因為，所以．
即，所以4分
因為，所以6分
又因為，
所以7分
（2）由餘弦定理及得，，
即10分
又因為，
所以12分
所以14分
16. （1）因為平面，平面，
平面平面，所以3分
因為平面，平面，
所以平面6分
（2）因為為的中點，，所以為的中點．
又因為，所以8分
又，，所以10分
平面，，
所以平面12分
因為平面，
所以平面平面14分
17．（1）由題意，，，且為等邊三角形，
所以2分
6分（2）要符合園林局的要求，只要最小，
由（1）知，
令，即，
解得或（捨去10分
令，當時，是單調減函式，
當時，是單調增函式，
所以當時，取得最小值.
答：當滿足時，符合園林局要求14分
18．（1）由題意可得：，即，
從而有，
所以橢圓的標準方程為4分
（2）設直線的方程為，代入，
得， 因為為該方程的乙個根，解得6分
設,由,得：，
即10分
由,即，得，
即，即，
所以或14分
當時，直線的方程為，
當時，代入得，解得，
此時直線的方程為.
綜上,直線的方程為16分
19．（1）當時，，所以．
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