第8講矩陣變換（理科）
【知識梳理】
1．線性變換與二階矩陣
在平面直角座標系xoy中，由(其中a，b，c，d是常數)構成的變換稱為線性變換．由四個數a，b，c，d排成的正方形數表稱為________，其中a，b，c，d稱為矩陣的________，矩陣通常用大寫字母a，b，c，…或(aij)表示(其中i，j分別為元素aij所在的行和列)．
2．矩陣的乘法
行矩陣[a11a12]與列矩陣的乘法規則為[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二階矩陣與列矩陣的乘法規則為＝.矩陣乘法滿足結合律，不滿**換律和消去律．
3．幾種常見的線性變換
(1)恒等變換矩陣m＝；
(2)旋轉變換rθ對應的矩陣是m
(3)反射變換要看關於哪條直線對稱．例如若關於x軸對稱，則變換對應矩陣為m1＝；若關於y軸對稱，則變換對應矩陣為m2若關於座標原點對稱，則變換對應矩陣m3
(4)伸壓變換對應的二階矩陣m＝，表示將每個點的橫座標變為原來的________倍，縱座標變為原來的________倍，k1，k2均為非零常數；
(5)投影變換要看投影在什麼直線上，例如關於x軸的投影變換的矩陣為m
(6)切變變換要看沿什麼方向平移，若沿x軸平移|ky|個單位，則對應矩陣m若沿y軸平移|kx|個單位，則對應矩陣m＝.(其中k為非零常數)．
4．線性變換的基本性質
設向量α＝，規定實數λ與向量α的乘積設向量α＝，β＝，規定向量α與β的和
(1)設m是乙個二階矩陣，α、β是平面上的任意兩個向量，λ是乙個任意實數，則
①mm(2)二階矩陣對應的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點)．
5.逆變換與逆矩陣
(1)對於二階矩陣a、b，若有ab＝ba＝e，則稱a是可逆的，b稱為a的逆矩陣；
(2)若二階矩陣a、b均存在逆矩陣，則ab也存在逆矩陣，且(ab)－1
6．特徵值與特徵向量
設a是乙個二階矩陣，如果對於實數λ，存在乙個非零向量α，使aα＝λα，那麼λ稱為a的乙個特徵值，而α稱為a的屬於特徵值λ的乙個特徵向量．
【考點講解】
1.矩陣的逆矩陣是
2.已知矩陣a是不可逆矩陣，則實數a的值是
3.已知矩陣a＝，b＝，求(ab)－1.
4.點先通過矩陣後通過矩陣的變換效果相當於另一變換矩陣是
5.已知，，求滿足的二階方陣.
6.將點(2,4)先經過矩陣變換後，再繞原點逆時針旋轉90°角所得的點座標為________
7.已知矩陣a＝，向量β＝.求向量α，使得a2α＝β.
8.在平面直角座標系xoy中，設橢圓4x2＋y2＝1在矩陣a＝對應的變換下得到曲線f，求曲線f的方程．
9.已知矩陣m＝，n＝，且mn＝.
(1)求實數a、b、c、d的值；
(2)求直線y＝3x在矩陣m所對應的線性變換作用下的像的方程．
10.矩陣a＝的特徵值為_______．
11.已知矩陣m＝，求m的特徵值及屬於各特徵值的乙個特徵向量．
12.已知矩陣m＝，其中a∈r，若點p(1，－2)在矩陣m的變換下得到點p′(－4,0)，求：
(1)實數a的值； (2)矩陣m的特徵值及其對應的特徵向量．
13.已知m＝，β＝，計算m5β.
14.已知矩陣a＝，a的乙個特徵值λ＝2，其對應的特徵向量是α1＝.
(1)求矩陣a； (2)若向量β＝，計算a5β的值．
【鞏固提公升】
1．將圖形繞原點逆時針旋轉的矩陣是
2. 表示x軸的反射變換的矩陣是
3.已知矩陣a將點(1,0)變換為(2,3)，且屬於特徵值3的乙個特徵向量是，求矩陣a.
4.已知矩陣a＝.(1)求逆矩陣a－1； (2)若矩陣x滿足ax＝，試求矩陣x.
5.設m是把座標平面上的點的橫座標伸長到2倍，縱座標伸長到3倍的伸壓變換．
(1)求矩陣m的特徵值及相應的特徵向量；
(2)求逆矩陣m－1以及橢圓＋＝1在m－1的作用下的新曲線的方程．
6.已知矩陣m＝.
(1)求矩陣m的逆矩陣； (2)求矩陣m的特徵值及特徵向量．
高考理科數學變換與矩陣
高考理科數學變換與矩陣 極限部分練習題 一 選擇題 1 展開式為的行列式是 a b c d 答案 b 二 填空題 2 若,則 答案 三 解答題 每題10分，共30分 3 矩陣與變換 已知直線在矩陣對應的變換作用下變為直線.求實數的值 若點在直線上,且,求點的座標.答案 解 設直線上任意一點在矩陣對應...
02線性變換及其矩陣
第二講線性變換及其矩陣 一 線性變換及其運算 定義 設v是數域k上的線性空間，t是v到自身的乙個對映，使得對於v中的任意元素x均存在唯一的yv與之對應，則稱t為v的乙個變換或運算元，記為 tx y 稱y為x在變換t下的象，x為y的原象。若變化t還滿足 t kx ly k tx l ty x,yv,k...
矩陣的初等變換及應用的總結
內容摘要 矩陣是線性代數的重要研究物件。矩陣初等變換是線性代數中一種重要的計算工具，利用矩陣初等變換，可以求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的秩，確定向量組向量間的線性關係。一矩陣的概念 定義 由於m n個數aij i 1，2，m j 1，2，n 排成的m行n列的數表，稱為m行n列，簡稱m n矩陣...