矩陣也可以有初等變換
定義3 下面的三種變換叫做矩陣的初等變換：
(1) 矩陣的兩行（列）互換位置；
(2) 矩陣的某一行（列）乘以非零的常數；
(3) 矩陣有某一行（列）加另一行（列）的倍，是乙個多項式.
和數字矩陣的初等變換一樣，可以引進初等矩陣.例如，將單位矩陣的第行的倍加到第行上得
仍用表示由單位矩陣經過第行第行互換位置所得的初等矩陣，用表示用非零常數乘單位矩陣第行所得的初等矩陣.同樣地，對乙個的矩陣作一次初等變換就相當於在的左邊乘上相應的初等矩陣；對作一次初等列變換就相當於在的右邊乘上相應的的初等矩陣.
初等矩陣都是可逆的，並且有
.由此得出初等變換具有可逆性：設矩陣用初等變換變成，這相當於對左乘或右乘乙個初等矩陣.再用此初等矩陣的逆矩陣來乘就變回，而這逆矩陣仍是初等矩陣，因而由可用初等變換變回.
定義4矩陣稱為與等價，如果可以經過一系列初等變換將化為.
等價是矩陣之間的一種關係，這個關係顯然具有下列三個性質：
(!) 反身性：每乙個矩陣與它自身等價.
(2) 對稱性：若與等價，則與等價.
(3) 傳遞性：若與等價，與等價，則與等價.
應用初等變換與初等矩陣的關係即得，矩陣與等價的充要條件為有一系列初等矩陣，使
2)這一節主要是證明任意乙個矩陣可以經過初等變換化為某種對角矩陣.
引理設矩陣的左上角元素，並且中至少有乙個元素不能被它除盡，那麼一定可以找到乙個與等價的矩陣，它的左上角元素也不為零，但是次數比的次數低.
定理2 任意乙個非零的的矩陣都等價於下列形式的矩陣
,其中是首項係數為1的多項式，且
.這個矩陣稱為的標準形.
例用初等變換化矩陣
為標準形.
矩陣的初等變換及應用的總結
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