第二講線性變換及其矩陣
一、線性變換及其運算
定義：設v是數域k上的線性空間，t是v到自身的乙個對映，使得對於v中的任意元素x均存在唯一的yv與之對應，則稱t為v的乙個變換或運算元，記為
tx＝y
稱y為x在變換t下的象，x為y的原象。
若變化t還滿足
t(kx+ly)=k(tx)+l(ty) x,yv, k,lk
稱t為線性變換。
[例1] 二維實向量空間，將其繞原點旋轉角的操作就是乙個線性變換。
[證明可見該操作t為變換，下面證明其為線性變換
，k，l
t是線性變換。
[例2] 次數不超過的全體實多項式構成實數域上的乙個維的線性空間，其基可選為，微分運算元是上的乙個線性變換。
[證明] 顯然對而言是變換，
要證明滿足線性變換的條件
，k，l
是上的線性變換。
2. 性質
（1） 線性變換把零元素仍變為零元素
（2） 負元素的象為原來元素的象的負元素
（3） 線性變換把線性相關的元素組仍變為線性相關的元素組
[證明] 線性變換t(kx+ly)=k(tx)+l(ty)
（1）t(0)=t(0x)=0(tx)=0
（2）t(-x)=(-1)(tx)=-(tx)
（3）元素組線性相關，即存在一組不全為零的數使
則線性相關。
得證]應該注意，線性無關的元素組經過線性變換不一定再是線性無關的，變換後的情況與元素組和線性變換有關。若線性變換將所有的元素組仍變換為線性無關的元素組，則稱之為滿秩的線性變換，其變換矩陣為滿秩矩陣。
3. 線性變換的運算
（1） 恒等變換：
（2） 零變換：
（3） 變換的相等：、是的兩個線性變換，，均有，則稱＝
（4） 線性變換的和+：，
（5） 線性變換的數乘：，
負變換：
（6） 線性變換的乘積：，
（7） 逆變換：，若存**性變換使得，則稱為的逆變換＝
（8） 線性變換的多項式：
，並規定
需要說明的是：
1）也稱為單位變換，它的矩陣表示為單位矩陣；
2）對應的矩陣表示為零矩陣；
3）和矩陣的乘積一樣，線性變換的乘積不滿**換律；
4）不是所有的變換都具有逆變換，只有滿秩變換才有逆變換，；
5）恒等變換、零變換、線性變換的和、乘積多項式及逆變換（若存在）均為線性變換。
二、線性變換的矩陣表示
線性變換用矩陣表示，將抽象的線性變換轉化為具體的矩陣形式。
設是線性空間的乙個線性變換，且是的乙個基， n，存在唯一的座標表示＝
因此，要確定線性變換，只需確定基元素在該變換下的象就可以了。
對於任意元素，在該基下，變換後的座標表示為
同時對比可知：＝即
1. 定義：把稱為在基下的矩陣。
2. 定理：設是的乙個基，、在該基下的矩陣分別為、。則有
（1）（2）
（3）（4）
推論1. 設為純量t的m次多項式，為線性空間的乙個線性變換，且在的基下的矩陣為，則
其中推論2. 設線性變換在的基下的矩陣為，元素在該基下的座標為，則在該基下的座標滿足
3.相似矩陣
設在的兩個基及的矩陣分別為和，且＝，則
即和為相似矩陣。
[證明]
即定理：階方陣和相似的充要條件是和為同一線性變換在不同基下的矩陣。
[證明] 必要性：已知和相似，即存在可逆矩陣使
選取乙個基，定義
考慮可作為基，且
和為同一線性變換在不同基下的矩陣。
充分性的證明由相似矩陣定義的證明給出。
三、線性變換及矩陣的值域和核
1. 定義：設是線性空間的線性變換，稱
為的值域；
稱為的核。
和均為的子空間。
設為階矩陣，稱
為矩陣的值域；
為的核。
、稱為的秩和零度；
、稱為的秩和零度。
2. 定理：（1）
（2）（3），為的列數。
若是線性變換的矩陣，則
=， =
作業：p77－78，1、7
第七章線性變換小結
本章的重點 線性變換的矩陣以及它們對角化的條件和方法.本章的難點 不變子空間的概念和線性變換與矩陣的一一對應關係.線性變換是線性代數的中心內容之一,它對於研究線性空間的整體結構以及向量之間的內在聯絡起著重要作用.線性變換的概念是解析幾何中的座標變換 數學分析中的某些變換替換等的抽象和推廣,它的理論和...
第六章線性空間與線性變換 考研
1 驗證 1 2階矩陣的全體 2 主對角線上的元素之和等於0的2階矩陣的全體 3 2階對稱矩陣的全體.對於矩陣的加法和乘數運算構成線性空間，並寫出各個空間的乙個基 解 1 設分別為二階矩陣，則顯然 從而對於矩陣的加法和乘數運算構成線性空間 是的乙個基.2 設，是乙個基 3 設，則 從而,故，所以對於...
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