本章的重點: 線性變換的矩陣以及它們對角化的條件和方法.
本章的難點: 不變子空間的概念和線性變換與矩陣的一一對應關係.
線性變換是線性代數的中心內容之一,它對於研究線性空間的整體結構以及向量之間的內在聯絡起著重要作用.線性變換的概念是解析幾何中的座標變換、數學分析中的某些變換替換等的抽象和推廣,它的理論和方法,(特別是與之相適應的矩陣理論和方法)在解析幾何、微分方程等許多其它應用學科,都有極為廣泛的應用.
本章的中心問題是研究線性變換的矩陣表示,在方法上則充分利用了線性變換與矩陣對應和相互轉換.
一、線性變換及其運算
1. 基本概念: 線性變換,可逆線性變換與逆變換; 線性變換的值域與核，秩與零度; 線性變換的和與差, 乘積和數量乘法, 冪及多項式.
2. 基本結論
(1) 線性變換保持零向量、線性組合與線性關係不變; 線性變換把負向量變為象的負向量、把線性相關的向量組變為線性相關的向量組
(2) 線性變換的和、差、積、數量乘法和可逆線性變換的逆變換仍為線性變換.
(3) 線性變換的基本運算規律(略).
(4) 乙個線性空間的全體線性變換關於線性變換的加法與數量乘法作成乙個線性空間.
(5) 線性空間的線性變換a的象im(a )= a v與核kera = a -1(0)
(a) a的象im(a )= a v與核kera = a -1(0)是的(a -)子空間.
(b)若dim()=,則im(a )由的一組基的象生成: 即設v的一組基, im(a )= a v=l(a1, a2,… ,an)=.
kera = a -1(0)= .
(c)a的秩(dim im(a ))+a的零度(dim kera )=.
(d)a是雙射a是單射ker(a)=a是滿射.
(e)像空間的一組基的原像與核空間的一組基合併就是線性空間v的一組基:
取ima的一組基,存在使得a,i=1,2,…,r.
再取kera的基則就是v的一組基.
二、線性變換與矩陣
1.基本概念:
(1)線性變換在基下的矩陣:
設a l(v),取定n維線性空間v的一組基,則a1, a2,… ,an 可由1,2,…,n線性表示, 即
(a1, a2,… ,an)=()a,
矩陣a稱為線性變換a在此基下的矩陣.
(2) 乙個線性變換在不同基下的矩陣相似:
設,是線性空間v的兩組基,
()=()p,
(a 1, a 2,… ,a n)=()a,
則(a 1, a 2,… ,a n)=().
2.基本結論
(1) 若是線性空間的乙個基, ,則存在唯一a,使得a.
(2) 在取定維線性空間的乙個基之後,將的每一線性變換與它在這個基下的矩陣相對應,則這個對應使得線性變換的和、乘積、數量乘積的矩陣分別對應於矩陣的和、乘積、數量乘積；可逆線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應逆矩陣。
(3) 同一線性變換關於不同基的矩陣是相似的;反之,若兩個矩陣相似,則它們可看作是同一線性變換關於兩個基的矩陣.
(4) 若**性空間的乙個基下,線性變換a對應的矩陣為,向量的座標為,則 a的秩=秩(),a()的座標
.三、特徵值與特徵向量
1.基本概念
(1)特徵多項式
設線性變換a在v的一組基下的矩陣為a, 則
稱為a的特徵多項式.(的根就是a的全部特徵根).
設1,2,…,n是f()的全部根, 則.
由大多項式相等, 得
tr(a)=,
(2)線性變換(或矩陣)的特徵值與特徵向量:
若a =, 0, 則稱為a的特徵根(特徵值), 稱為a的屬於特徵值的特徵向量.
(3)化零多項式
設g()是乙個多項式,使得g(a )=0(g(a)=0),則g()稱為a (a)的化零多項式.
(4)最小多項式---化零多項式中次數最低者.
(5)特徵子空間---a的屬於某乙個特徵值的全部特徵向量作成的集合:
a.2.基本結論:
(1) 線性變換與相應矩陣的特徵值、特徵向量及特徵子空間的關係(略)
(2) 屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的.
(3) 相似矩陣有相同的特徵多項式,從而有相同的特徵值,反之不然.
(4)定理:設線性變換a在某個基下的矩陣為, ,則, (a)=0.
四、對角化問題
1. 基本概念:
(1)不變子空間---設w是v的子空間, a l(v), 若a ww, 則稱w是a的不變子空間, 簡稱為a –子空間.
(2)標準形---設a l(v), 則必存在v的一組基, 使得a在此基下的矩陣為標準形.
2. 基本結論:
設a是數域上維向量空間的乙個線性變換,則
(1) a的矩陣可以在某一組基下為對角形矩陣a有個線性無關的特徵向量.
可以分解為個一維不變子空間的直和
a的所有不同的特徵子空間的維數之和等於
a的最小多項式沒有重根
可以分解為特徵子空間的直和.
因而,當a有個不同特徵值時, a必在某個基下的矩陣是對角形式.
(2)設為階矩陣，則必與乙個標準形矩陣相似，且在不計若當塊的排列次序的意義下，這個標準形是唯一的；而與對角矩陣相似的最小多項式無重根.於是，當的特徵多項式無重根時，必與乙個對角矩陣相似.
第八章矩陣(小結)
一、基本概念
1.矩陣---矩陣的元素是的多項式.
2.可逆的矩陣---可逆的充要條件是||=c0(是乙個非零常數).
3.秩---的秩為r, 若有乙個r階子式非零, 任乙個r+1階子式均為零.
4.矩陣的初等變換---.(列變換類似)
5.任乙個矩陣都可以經過初等變換化為標準形
其中6.矩陣與的等價當且僅當經過初等變換變為.
7.的k階行列式因子---的所有k階子式的最大公因式.
8.的不變因子---把經過初等變換化為標準形後，主對角線上次數大於零的多項式為的不變因子.
9.的初等因子---把的標準形的主對角線上次數大於零的多項式分解成一次因式的方冪, 這些一次因式的方次就是的全部初等因子.
10.jordan塊---.
11.若爾當標準形---，其中ji均為jordan塊.
12.伴侶陣---矩陣稱為多項式d()的伴侶陣, 其中
.13.矩陣a的有理標準形---把a的特徵矩陣化為標準形
,則a的有理標準形為
b=,其中bi為di()的伴侶陣,i=1,2,…,s.
二、主要結論
1. 乙個的矩陣是可逆的充要條件為行列式是乙個非零的數.
2. 任意乙個非零的的矩陣都等價於其唯一的標準形矩陣：
,其中是首項係數為1的多項式，且
.3. 兩個矩陣等價的充要條件是它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.
4. 矩陣是可逆的充要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積.
5. 兩個的矩陣與等價的充要條件為，有乙個可逆矩陣與乙個可逆矩陣，使
.6. 設，是數域上兩個矩陣.與相似的充要條件是它們的特徵矩陣和等價.
7. 兩個同級複數矩陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子.
8. 首先用初等變換化特徵矩陣為對角形式，然後將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪(相同的按出現的次數計算)就是的全部初等因子.
9. 每個級的複數矩陣都與乙個若爾當形矩陣相似，這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被矩陣唯一決定的，它稱為的若爾當標準形.
10. 設a是複數域上維線性空間的線性變換，在中必定存在一組基，使a在這組基下的矩陣是若爾當形，並且這個若爾當形矩陣除去其中若爾當塊的排列次序外是被a唯一決定的.
11. 複數矩陣與對角矩陣相似的充要條件是的初等因子全為一次的(或的不變因子都沒有重根).
12. 數域上方陣在上相似於唯一的乙個有理標準形，稱為的有理標準形.
13. 設a是數域上維線性空間的線性變換，則在中存在一組基，使a在該基下的矩陣是有理標準形，並且這個有理標準形由a唯一決定的，稱為a的有理標準形.
第八章主要結論:
1. a與b相似與等價
它們有相同的各階行列式因子
它們有相同的不變因子
它們有相同的初等因子.
2. a的每乙個初等因子決定乙個jordan塊, 全體初等因子決定了a的jordan標準形.
3.矩陣a可以對角化它的jordan塊都是一階的
它的初等因子都是一次的
它的最小多項式無重根.
它的不變因子無重根.
4. 矩陣a的最小多項式就是a的最後乙個不變因子.
第七章和第八章主要掌握的計算
1. 求線性變換在某基下的矩陣.
(1)n維向量空間;
(2)n維多項式空間;
(3)22矩陣空間.
例1. 設v=r3, (a,b,c) r3,求a在基和下的矩陣, 其中
a(a,b,c)=.
解: (a e1, a e2, a e3)=(e1, e2, e3) = (e1, e2, e3)a.
(a,a,a)=(a e1, a e2, a e3)p=(e1, e2, e3)ap= (,,)p -1ap.
例2. v=p[x]n-1, d l(v), d, 求d在基1,x,…,xn-1下的矩陣.
例3., a l(v), ,對任意的xv, a x=qx,求a在基下的矩陣.
解: 由於a e11==, a e12==,
a e21==, a e22==,
所以a在基下的矩陣為
2. 判斷乙個變換是否為線性變換.
3. 求線性變換a的值域與核.
4. 求線性變換(矩陣)的特徵值和特徵向量, 判斷矩陣是否可以對角化.
(1) 求出a在v的一組基, ,…,下的矩陣a.
(2) 求出特徵多項式f()=|e-a|, 在求出其全部根即為全部的特徵值.
(3) 對每乙個特徵值, 求解齊次線性方程組
得到基礎解系,. 則就是a的屬於特徵值的特徵向量在基, ,…,下的座標, 於是特徵向量為=.
第七章小結與思考
班級姓名學號 學習目標 1 理解不等式有關概念，掌握不等式性質。2 能熟練的解，並能用不等式解決簡單實際問題。3 通過本課，使學生初步感受知識的梳理過程，學會歸納和交流。學習重點 感受知識的梳理過程 學習難點 用不等式解決簡單實際問題 教學過程 一 回顧與思考 1 已知a 0，用 或 號填空 1 a...
第七章小結與思考
第7章銳角三角函式複習 複習回顧 1 正弦，余弦，正切 如圖，abc中，ac 4，bc 3，ba 5 則sina sinb cosa cosb tana tanb 練習1 如圖，在rt abc中，acb 90 cd是斜邊ab上的高，ab 7，ac 3，則sin bcd 練習2 rt abc中，c 9...
第七章複習與小結
知識梳理 用不等式解決實際問題的過程 範例點睛 例1 解不等式 x 1 5 思路點撥 本題題意是 x為何值時x 1的絕對值大於5，根據絕對值的概念可知大於5和小於 5的數的絕對值都大於5，於是本題可轉化為兩個不等式，即x 1 5或x 1 5，而這兩個不等式的解都符合題意 易錯辨析 不要忘記小於 5的...