5．5數列通項及遞推數列（2）
【課前預習】
1． 數列的前n項和，則通項＿＿＿；並回答此數列是否為等差數列.
2. 在數列中，當時，有，
（1）求證：數列為等比數列； （2）求.
3．已知a1 = 3，f (x) = x2，且an + 1 = f (an)，則an =.
4．數列中，若,且滿足,求證（1）數列為等比數列；（2）求.
【複習目標】
4．若，則可化成，從而是等比數列，
其中x是待定係數法可求.
5．若數列滿足a1 = a，a2 = b，an + 2 =kan + 1 + ban ，則可化為(an + 2 – xan + 1) = y (an + 1 – xan}其中x，y可用待定係數法求得，從而構成等比數列.
6、遞推公式為與的關係式。(或)
解法：這種型別一般利用與消去或與消去進行求解。
【典型例題】
例1. （2006，福建,文,22,本小題滿分14分）
已知數列滿足
（i）證明：數列是等比數列； （ii）求數列的通項公式；
例2. 設數列的前n項和為sn，且a1=1，sn+1= 4an + 2 (n∈n*).
（1）設bn=an+1–2an，求證：數列是等比數列；
（2）設cn=求證：數列是等差數列；
（3）求sn = a1 + a2 + … + an.
例3. 已知數列滿足，且,且滿足, ①求證：數列｛｝為等比數列；②求.
【練習與作業】
1．數列的前n項和為sn，sn＝2an＋1，求數列的通項公式；
2. 數列的前n項和sn滿足log2(sn + 1) = n + 1, 則an
.3、已知數列中，, ,，
①求證：數列｛｝為等比數列；②求。
4、已知數列中，，，求
5、已知滿足a1 = 1，an + 1 = 2an + 1（n∈n*）.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足…(n∈n*)，證明：是等差數列.
5．5數列通項及遞推數列（2）答案
【課前預習】
2）分析：思路：遞推式兩邊加，即，於是數列為等比數列，問題就變得很容易。
思路：用「姊妹式」相減的方法,可得，新數列也是等比數列。
解法：變形得，於是數列是首項為公比為的等比數列。所以有，所以
解法：由得
得：，其中．
因此，數列是以為首項，以為公比的等比數列。
，又， 因此
評注：兩種解法均利用了「轉化與化歸」思想，將問題轉化為等比數列來研究。都用到構造新數列將矛盾轉化。除此之外，還可以用「特殊一般」的思路去「歸納」出結論。
3、【解】∵a1 = 3，an + 1 = an2∴a2 =，a3 =，知.【點評】函式迭代型.
4）解：把變形為.
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，則
，.2）解：令,即,與已知
比較，則有,故或
下面我們取其中一組來運算，即有,
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，故
,即,利用型別四的方法，可得.
【典型例題】
例1. （i）證明：
是以為首項，2為公比的等比數列
（ii）解：由（i）得
例2、【解析】（1）∵an+1 = sn+1 – sn = 4an – 4an－1， ∴an+1 – 2an = 2( an – 2an－1)，
∴bn = 2bn－1(n≥2). 又b1 = a2 – 2a1 = s2 – 3a1 = a1 + 2 = 3，
∴是首項為3，公比為2的等比數列.
（2）∵bn=3·2n－1，∴an+1– 2 an =3·2n－1，
∴cn+1 – cn =.
又c1=，∴是以為首項,公差為的等差數列.
（3）∵cn=， ∴an=2n·cn=2n－2(3n– 1).
∴當n≥2時，
sn= 4an－1+2=4·2n－3[3(n–1) – 1]+2=2n－1(3n– 4)+2 又n=1時，s1=1.故sn=2n－1 (3n–4)+2.
例3、解：令,即,與已知
比較，則有,故或
下面我們取其中一組來運算，即有,
則數列是以為首項，3為公比的等比數列，故
,即,利用型別四的方法，可得.
【練習與作業】
2、【解析】sn + 1 = 2n+1
n =1時，a1 = 22 – 1 = 3.
n≥2時故an =
3解：由可轉化為
即或這裡不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用型別1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即
又，所以。
4．分析：把兩邊取倒數，可得,令，則
解: 變形得,令，則.
繼續變形得:,數列是首項是,公比是的等比數例1
5、【解析】（1）∵an+1=2 an+1（n∈n*）， ∴an+1+1=2(an+1),
∴是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數列. ∴an+1=2n， 即an=2n－1(n∈n)。
（2）證：∵4b1－14 b2－2…4 bn－1=(a+1)bn，
∴4b1+b2+…+bn = 2nb, ∴2[(b1 + b2 +…+ bn) – n]= nbn, ①
2[(b1 + b2 +…+ bn+1) – (n + 1)]= (n + 1) bn+1
②–①,得2 (bn + 1 –1) = (n + 1)bn+1 – nbn,
即(n – 1)bn + 1 –nbn + 2 = 0
nbn + 2 = (n + 1)bn + 1 + 2 = 0
④ – ③，得nbn + 2 – 2nbn + 1 – nbn = 0,
即 bn + 2 – 2bn + 1 + bn = 0,∴是等差數列.
評注：數學解題中往往要打破思維定勢,在可能發生的事情中預想不可能,在不可能中尋求可能的解決途徑,「以退為進,以進求退」辯證地看待問題，是解決數學問題的基本策略。一般地，型如的遞推數列，變形為後，就變成了基本型別。
物理奧賽解題方法第6節遞推法
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第2節化學反應的快慢和限度 第2課時化學反應的限度 學習目標 1 知道可逆反應的特徵。2 了解化學反應的進行有一定限度，了解化學平衡的特徵。3 了解化學平衡的移動。4.掌握平衡的判斷。引入 觀察下列各組化學方程式，尋找每組內兩個化學反應的異同，談談你對化學反應的認識。投影展示 1 2h2 o2 2h...