六、遞推法
方法簡介
遞推法是解決物體與物體發生多次作用後的情況. 即當問題中涉及相互聯絡的物體較多並且有規律時，應根據題目特點應用數學思想將所研究的問題歸類，然後求出通式. 具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結論.
再根據多次作用的重複性和它們的共同點，把結論推廣，然後結合數學知識求解. 用遞推法解題的關鍵是匯出聯絡相鄰兩次作用的遞推關係式.
塞題精析
例1 質點以加速度a從靜止出發做直線運動，在某時刻t，加速度變為2a；在時刻2t，加速度變為3a；…；在nt時刻，加速度變為（n+1）a，求：
（1）nt時刻質點的速度；
（2）nt時間內通過的總路程.
解析根據遞推法的思想，從特殊到一般找到規律，然後求解.
（1）物質在某時刻t末的速度為
2t末的速度為
3t末的速度為
……則nt末的速度為
（2）同理：可推得nt內通過的總路程
例2 小球從高處自由下落，著地後跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小，求小球從下落到停止經過的總時間為通過的總路程.（g取10m/s2）
解析小球從h0高處落地時，速率
第一次跳起時和又落地時的速率
第二次跳起時和又落地時的速率
第m次跳起時和又落地時的速率
每次跳起的高度依次，
通過的總路程
經過的總時間為
例3 a、b、c三隻獵犬站立的位置構成乙個邊長為a的正
三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，a犬想追捕b犬，b
犬想追捕c犬，c犬想追捕a犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調
整方向，速度方向始終「盯」住對方，它們同時起動，經多長
時間可捕捉到獵物？
解析由題意可知，由題意可知，三隻獵犬都做等速率曲線運動，而且任一時刻三隻獵犬的位置都分別在乙個正三角形的三個頂點上，但這正三角形的邊長不斷減小，如圖6—1所示.所以要想求出捕捉的時間，則需用微元法將等速率曲線運動變成等速率直線運動，再用遞推法求解.
設經時間t可捕捉獵物，再把t分為n個微小時間間隔△t，在每乙個△t內每只獵犬的運動可視為直線運動，每隔△t，正三角形的邊長分別為a1、a2、a3、…、an，顯然當an→0時三隻獵犬相遇.因為即
此題還可用對稱法，在非慣性參考係中求解.
例4 一列進站後的過載列車，車頭與各節車廂的質量相等，均為m，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節車廂，那麼，利用倒退起動，該車頭能起動多少節同樣質量的車廂？
解析若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節車廂動能都增加，若利用倒退起動，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節車廂起動的動能則不同.
原來掛鉤之間是張緊的，倒退後掛鉤間存在△s的寬鬆距離，設火車的牽引力為f，則有：
車頭起動時，有
拉第一節車廂時：
故有拉第二節車廂時：
故同樣可得：
……推理可得
由另由題意知
因此該車頭倒退起動時，能起動45節相同質量的車廂.
例5 有n塊質量均為m，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現將它們一塊一塊地疊放起來，如圖6—2所示，人至少做多少功？
解析將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重
力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算.
將第2塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為
將第3、4、…、n塊磚依次疊放起來，人克服重力至少所需做的功
分別為所以將n塊磚疊放起來，至少做的總功為
w=w1+w2+w3+…+wn
例6 如圖6—3所示，有六個完全相同的長條薄片、
2、…、6）依次架在水平碗口上，一端擱在碗口，另一端架在另一
薄片的正中位置（不計薄片的質量）. 將質量為m的質點置於a1a6
的中點處，試求：a1b1薄片對a6b6的壓力.
解析本題共有六個物體，通過觀察會發現，a1b1、a2b2、…、
a5b5的受力情況完全相同，因此將a1b1、a2b2、…a5b5作為一類，
對其中乙個進行受力分析，找出規律，求出通式即可求解.
以第i個薄片ab為研究物件，受力情況如圖6—3甲所示，第i個
薄片受到前乙個薄片向上的支援力ni、碗邊向上的支援力和後乙個薄片
向下的壓力ni+1. 選碗邊b點為軸，根據力矩平衡有
所以 ①
再以a6b6為研究物件，受力情況如圖6—3乙所示，a6b6受到薄片
a5b5向上的支援力n6、碗向上的支援力和後乙個薄片a1b1向下的壓力
n1、質點向下的壓力mg. 選b6點為軸，根據力矩平衡有
由①、②聯立，解得
所以，a1b1薄片對a6b6的壓力為
例7 用20塊質量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為l，橫截面是邊長為的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），計算跨度與橋孔高度的比值.
解析為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側應有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由於每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值.
將從上到下的積木塊依次計為1、2、…、n，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為
第2塊相對第3塊的最大伸出量為（如圖6—4所示），則
同理可得第3塊的最大伸出量
……最後歸納得出
所以總跨度
跨度與橋孔高的比值為
例8 如圖6—5所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點o兩側的人的序號都記為
…）. 每人只有乙個沙袋，一側的每個沙袋質量為m=14kg，一側的每個沙袋質量. 一質量為m=48kg的小車以某初速度v0從原點出發向正x軸方向滑行.
不計軌道阻力. 當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等於扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍.（n是此人的序號數）
（1）空車出發後，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？
（2）車上最終有大小沙袋共多少個？
解析當人把沙袋以一定的速度朝與車速相反的方向沿車面扔到車上時，由動量守恆定律知，車速要減小，可見，當人不斷地把沙袋以一定的速度扔到車上，總有一時刻使車速反向或減小到零，如車能反向運動，則另一邊的人還能將沙袋扔到車上，直到車速為零，則不能再扔，否則還能扔.
小車以初速沿正x軸方向運動，經過第1個（n=1）人的身旁時，此人將沙袋以的水平速度扔到車上，由動量守恆得當小車運動到第2人身旁時，此人將沙袋以速度的水平速度扔到車上，同理有，所以，當第n個沙袋拋上車後的車速為，根據動量守恆有.
同理有，若拋上（n+1）包沙袋後車反向運動，則應有
即由此兩式解得：為整數取3.
當車反向滑行時，根據上面同樣推理可知，當向左運動到第n個人身旁，拋上第n包沙袋後由動量守恆定律有：
解得：設拋上n+1個沙袋後車速反向，要求
即即拋上第8個
沙袋後車就停止，所以車上最終有11個沙袋.
例9 如圖6—6所示，一固定的斜面，傾角，斜面
長l=2.00公尺. 在斜面下端有一與斜面垂直的擋板. 一質量為m的
質點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零. 下滑到最底端
與擋板發生彈性碰撞. 已知質點與斜面間的動摩擦因數，試求此質點從開始到發生第11次碰撞的過程中運動的總路程.
解析因為質點每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質點從開始到發生n次碰撞的過程中運動的總路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.
設每次開始下滑時，小球距檔板為s
則由功能關係：
即有由此可見每次碰撞後通過的路程是一等比數列，其公比為
∴在發生第11次碰撞過程中的路程
例10 如圖6—7所示，一水平放置的圓環形剛性窄槽固定在桌
面上，槽內嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質量分別是m1、m2
和m3，m2=m3=2m1. 小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽
略不計. 開始時，三球處在槽中ⅰ、ⅱ、ⅲ的位置，彼此間距離相等，
m2和m3靜止，m1以初速沿槽運動，r為圓環的內半徑和
小球半徑之和，設各球之間的碰撞皆為彈性碰撞，求此系統的運動週期t.
解析當m1與m2發生彈性碰撞時，由於m2=2m1，所以m1碰後彈回，m2向前與m3發生碰撞. 而又由於m2=m3，所以m2與m3碰後，m3能靜止在m1的位置，m1又以v速度被**，可見碰撞又重複一次. 當m1回到初始位置，則系統為乙個週期.
以m1、m2為研究物件，當m1與m2發生彈性碰撞後，根據動量守恆定律，能量守恆定律可寫出：
②由①、②式得：
以m2、m3為研究物件，當m2與m3發生彈性碰撞後，得
以m3、m1為研究物件，當m3與m1發生彈性碰撞後，得
由此可見，當m1運動到m2處時與開始所處的狀態相似. 所以碰撞使m1、m2、m3交換位置，當m1再次回到原來位置時，所用的時間恰好就是系統的乙個週期t，由此可得週期
例11 有許多質量為m的木塊相互靠著沿一直線排列於光滑的水平面上. 每相鄰的兩個木塊均用長為l的柔繩連線著. 現用大小為f的恒力沿排列方向拉第乙個木塊，以後各木塊依次被牽而運動，求第n個木塊被牽動時的速度.
解析每乙個木塊被拉動起來後，就和前面的木塊成為一體，共同做勻加速運動一段距離l後，把繩拉緊，再牽動下乙個木塊. 在繩子繃緊時，有部分機械能轉化為內能. 因此，如果列出這樣的關係式是錯誤的.
設第個木塊剛被拉動時的速度為，它即將拉動下乙個木塊時速度增至，
第n個木塊剛被拉動時速度為. 對第個木塊開始運動到它把下一段繩子即將拉緊這一過程，由動能定理有：
①對繩子把第n個木塊拉動這一短暫過程，由動量守恆定律，有
得： ②
把②式代入①式得：
整理後得： ③
③式就是反映相鄰兩木塊被拉動時速度關係的遞推式，由③式可知
當n=2時有：
當n=3時有：
當n=4時有： …
一般地有
將以上個等式相加，得：
所以有在本題中，所以
例12 如圖6—8所示，質量m=2kg的平板小車，後端放
有質量m=3kg的鐵塊，它和車之間動摩擦因數開始
時，車和鐵塊共同以的速度向右在光滑水平面上
前進，並使車與牆發生正碰，設碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足夠長，使得鐵塊總不能和牆相碰，求小車走過的總路程.
解析小車與牆撞後，應以原速率彈回. 鐵塊由於慣性繼續沿原來方向運動，由於鐵塊和車的相互摩擦力作用，過一段時間後，它們就會相對靜止，一起以相同的速度再向右運動，然後車與牆發生第二次碰撞，碰後，又重複第一次碰後的情況. 以後車與牆就這樣一次次碰撞下去.
車每與牆碰一次，鐵塊就相對於車向前滑動一段距離，系統就有一部分機械能轉化為內能，車每次與牆碰後，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和.
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