十二、模擬法
方法簡介
模擬法是根據兩個研究物件或兩個系統在某些屬性上類似而推出其他屬性也類似的思維方法，是一種由個別到個別的推理形式。 其結論必須由實驗來檢驗，模擬物件間共有的屬性越多，則模擬結論的可靠性越大。
在研究物理問題時，經常會發現某些不同問題在一定範圍內具有形式上的相似性，其中包括數學表示式上的相似性和物理影象上的相似性。 模擬法就是在於發現和探索這一相似性，從而利用已知系統的物理規律去尋找未知系統的物理規律。
賽題精講
例1：圖12—1中aob是一內表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角α = 1°（為了能看清楚，圖中畫的是誇大了的）。現將一質點在boa麵內從a處以速度v = 5m/s射出，其方向與ao間的夾角θ = 60°，oa = 10m 。
設質點與桌面間的摩擦可忽略不計，質點與ob面及oa面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：
（1）經過幾次碰撞質點又回到a處與oa相碰？（計算次數時包括在a處的碰撞）
（2）共用多少時間？
（3）在這過程中，質點離o點的最短距離是多少？
解析：由於此質點彈性碰撞時的運動軌跡所滿足的規律和光的反射定律相同，所以可用模擬法通過幾何光學的規律進行求解。 即可用光在平面鏡上反射時，物像關於鏡面對稱的規律和光路是可逆的規律求解。
（1）第一次，第二次碰撞如圖12—1—甲所示，由三角形的外角等於不相鄰的一兩個內角和可知∠mba = 60°+ 1°= 61°，故第一次碰撞的入射角為90°－61°= 29°。
第二次碰撞，∠bca = 61°+ 1°= 62°，故第二次碰撞的入射角為90°－62° = 28°。
因此，每碰一次，入射角要減少1°，即入射角為29°、28°、…、0°，當入射角為0°時，質點碰後沿原路返回。 包括最後在a處的碰撞在內，往返總共60次碰撞。
（2）如圖12—1—乙所示，從o依次作出與ob邊成1°、2°、3°、……的射線，從對稱規律可推知，在ab的延長線上，bc′、c′d′、d′e′、……分別和bc、cd、de、……相等，它們和各射線的交角即為各次碰撞的入射角與直角之和。 碰撞入射角為0°時，即交角為90°時開始返回。 故質點運動的總路程為一銳角為60°的rt△amo的較小直角邊am的二倍。
即：s = 2am = 2aocos60°= 10m
所用總時間：t === 2s
（3）碰撞過程中離o的最近距離為另一直角邊長：om = aosin60°= 5m
（此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。）
例2：有乙個很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h 。
同時岸上一人從停放點起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h ，在水中游的速度為2.0km/h ，問此人能否追及小船？
解析：費馬原理指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。
據此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時間為極小值的路程傳播。本題求最短時間問題，可模擬類在平面分界面上的折射情況，這樣就把乙個運動問題通過模擬可轉化為光的折射問題求解。
如圖12—2所示，船沿op方向被刮跑，設人從o點出發先沿湖岸跑，在a點入水游到op的b點，如果符合光的折射定律，則所用時間最短。根據折射定律：
=，解得：γ = 30°
α = 180°－15°－(90°+γ) = 45°
在這最短時間內，若船還未到達b點，則人能追上小船，若船已經通過了b點，則人不能追上小船，所以船剛好能到達b點所對應的船速就是小船能被追及的最大船速vm 。
根據正弦定理
又：t = t1 + t2
由以上兩式可解得：vm == 2km/h
此即小船能被人追上的最大速度，而小船實際速度只有2.5km/h ，小於2km/h ，所以人能追上小船。
例3：乙隻螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度的大小與距螞蟻洞中心的距離l成反比，當螞蟻爬到距螞蟻洞中心距離l1 = 1m的a點時，速度大小為v1 = 20cm/s ，問當螞蟻爬到距螞蟻洞中心l2 = 2m的b點時，其速度大小v2 = ?螞蟻從a點到達b點所用的時間t =？
解析：雖然螞蟻的運動我們不能直接用已學過的運動學公式求解，但只要能找到描述螞蟻運動的公式和學過的公式的形式相同，便可借助學過的公式形式使問題得以解決。
由已知得：螞蟻在距離巢中心△處的速度為v = k，代入已知得：k = vl = 0.2×1 = 0.2m2/s ，所以當l2 = 2m時，其速度v2 == 0.1m/s
由速度的定義得螞蟻從l到l + δl所需時間為δt
所以：δt ==δll
模擬初速v0 = 0的勻加速直線運動的兩個基本公式
在t到δt時刻所經位移δs為：δs = aδtt
比較①、②兩式可以看出兩式的表述形式相同。
據此，可得螞蟻問題中的參量t和l分別模擬為初速為零的勻加速直線運動中的s和t 。而相當於加速度a ，於是可得：在此螞蟻問題中t =l2
令t1對應l1 ，t2對應l2 ，則所求時間為：
代入已知可得從a到b所用的時間為：
δt = t2－t1 =－=－= 0.75s
（此題也可以用圖象法、等效法求解，讀者可試試。）
例4：如圖12—3所示為一很大的接地導體板，在與導體板相距為d的a處放一帶電量為－q的點電荷。
（1）試求板上感應電荷在導體內p點產生的電場強度；
（2）試求感應電荷在導體外p′點產生的電場強度，p 與p′對導體板右表面是對稱的；
（3）在本題情形中根據場強分析證明導體表面附近的電場強度的方向與導體表面垂直；
（4）試求導體上的感應電荷對點電荷－q的作用力；
（5）若在切斷導體板與地的連線後，再將+q電荷置於導體板上，試說明這部分電荷在導體板上如何分布可達到靜電平衡。（略去邊緣效應）
解析：面電荷問題有時可用點電荷場來模擬，使問題大大簡化。（1）因導體處於靜電平衡狀態，內部場強為零，因此感應電荷在p點產生的場強可用點電荷場模擬，若在a點放+q在導體中p點產生的場和感應電荷在p點產生的場相同，因此有e = k，方向如圖12—3—甲所示。
（r為ap間距離）
（2）同理，感應電荷在導體外p′點產生的電場跟把+q放在與a關於導體右表面對稱的a′點產生的電場相同，即= k，方向如圖12—3甲所示。
（3）取導體外極靠近導體表面的一點p1 ，此處電場由感應電荷和－q共同產生，可模擬等量異號點電荷形成的電場，導體表面可模擬為等勢面，場強和等勢面是垂直的，因此p1點的場強方向跟導體表面垂直。如圖12—3—乙所示。
（4）感應電荷對－q的作用力也可模擬在a′點放的+q對它的庫侖力來求。如圖12—3—乙所示。
f =q =
（5）切斷接地線後，感應電荷分布不變，感應電荷和－q在導體中產生的電場強度為零（相當於不帶電情況），將+q置於導體板上時，模擬孤立無限大帶電平板，電荷將均勻分布
例5：如圖12—4所示為一無限多電容器連成的網路，若其中每個電容器的電容均為c ，求此網路a 、b間的等效電容cab 。
解析：電容器兩極板間所加電壓為u ，正極板上的電量為q時，電容為：c =。 電阻器兩端所加電壓為u ，通過的電流為i時，電阻為r =。
在c 、r表示式中u相同，q與i模擬，但兩個式子顯然有顛倒的關係，若為電容器引入c* ==，c*便可與r模擬，通過對r的求解，求出c* ，再求出它的倒數即為c 。
當將阻值為r的電阻替換電容c時，可以求得：ab間的總電阻為：rab = (+ 1)r
現在用c*取代r ，可解得： = (+ 1) c*
也即： = (+ 1)
所以ab間的等效電容為：cab =c
例6：電容器網路如圖12—5所示，各電容器以μf為單位的電容量數值已在圖中標出。求a、b兩點之間的等效電容cab 。
解析：同樣用模擬法為電容器引入輔助參量c* =，則c*的串並聯公式與電阻r的串並聯公式完全一樣，而且如圖12—5—甲中兩個電容網路元之間有完全類似於電阻網路元的y—△變換。
變換公式為： =， =， =
通過變換公式對題中的網路進行交換，從而求解。
設c* =
將中間同為c = 2μf的電容變為c* = (μf)－1 ，再將三個c*組成的△網路元變換為c* == (μf)－1的三個y網路元，於是將原網路等效為如圖12—5—乙網路，圖12—5—乙中所標數值均為c*值，為此網路可等效如圖12—5—丙網路，圖中所標數值仍是c*值。
因為此網路中沒有電流圖12—5—丙可當作平衡的橋式電路，中間的電容可拆去，此網路又可等效為圖12—5—丁，再模擬電阻串並聯公式可得：
= (μf)－1
故原網路a 、b間的等效電容為：cab == 6μf
例7：如圖12—6所示，乙個由絕緣細線構成的剛性圓形軌道，其半徑為r 。此軌道水平放置，圓心在o點，乙個金屬小珠p穿在此軌道上，可沿軌道無摩擦地滑動，小珠p帶電荷q 。
已知在軌道平面內a點（oa = r＜r）放有一電荷q 。若在oa連線上某一點a1放電荷q1 ，則給p乙個初速度，它就沿軌道做勻速圓周運動。求a1點位置及電荷q1之值。
解析：因為p可沿圓軌道做勻速圓周運動，說明此圓軌道是一等勢線，將此等勢線看成乙個球面鏡的一部分。已知半徑為r ，所以此球面鏡的焦距為。
由成像公式+=
若q為物點，q1為像點不成立，只能是q1為物點成虛像於q ，所以有：
－=，得到：p′=
又因為===
解得：q1 =q
例8：將焦距為10cm的一塊雙凸透鏡沿其表面的垂直方向切割成相同的兩部分，把這兩部分沿垂直於主軸的方向移開一段距離δ = 1cm ，並用不透明的材料將其擋住。 若在原透鏡左側主軸上，距透鏡光心20cm處放一點光源m ，如圖12—7所示，點光源能射出波長為0.
5μm的單色光，那麼在透鏡另一側距透鏡50cm的螢幕（垂直於透鏡主軸放置）上，將出現多少亮條紋？
解析：由透鏡成像規律可知，單色點光源m，經切割成的兩個半透鏡分別成兩個像m1 ，m2（此時每個半透鏡相當於乙個透鏡）。 這兩個像距相等，關於主光軸對稱，形成相干光源，從而在螢幕上可看到干涉條紋，螢幕**是零級亮條紋，兩側依次分布著各級干涉條紋。
根據透鏡成像公式+=得：p
設兩個像之間的距離m1m2 = d
由圖12—7—甲中的幾何關係可知： = ②
由①、②兩式得：d = (p
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