的時間t =?
解析：因為老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出的速度與通過的距離成反比，則不能通過勻速運動、勻變速運動公式直接求解，但可以通過圖象法求解，因為在—s圖象中，所圍面積即為所求的時間。以距離s為橫軸，為縱軸建立直角座標系，則s與成正比，作—s圖象如圖11—3所示，由圖可得s = 2m時，老鼠的速度為10cm/s 。
在1m到2m之間圖象與橫軸包圍的面積即為所求的時間，所以老鼠從a到b爬行的時間為：t = (+)×= 7.5s 。
例4：在一汽缸的活塞下面封閉有μ摩爾理想氣，由於受到驟然加熱，氣體迅速膨脹，且膨脹過程中其熱力學溫度與其體積的平方成正比，即t = kv2 。在其體積由v1膨脹至v2的過程中，氣體從外界吸收的熱量為q1 ，試求此過程中氣體的內能增加了多少？
解析：求此過程中氣體的內能增加了多少，要用熱力學第一定律，由已知條件可知，關鍵是要求出氣體對外做了多少功，而功可用p—v圖象中所圍的面積來計算。
以缸內氣體為研究物件，根據克拉珀龍方程：
pv = μrt
又由已知條件有：t = kv2 ②
①、②兩式可得：p = μrkv
可見氣體膨脹時，其壓強p與體積v成正比例。
因此作p—v圖，如圖11—4所示，圖中陰影區的面積表示氣體在此過程中，對外所做的功w 。
w = (v2－v1) =μrk(－)
再由熱力學第一定律，可知此過程中氣體內能的增加量為：
δe = q1－w = q1－μrk(－)
例5：如圖11—5所示，在乙個開有小孔的原來不帶電的導體球殼中心o點，有乙個點電荷q ，球殼的內外表面半徑分別為a和b ，欲將電荷q通過小孔緩慢地從o點移到無窮遠處，應當做功多少？
解析：球內、外表面上的感應電荷的電量隨著放在球心的電荷電量的改變而改變，感應電荷在球心處產生的電勢u = kq感 (－)，也與感應電荷的電量q感成正比，利用u—q感的圖象也可以求出外力做的功。
感應電荷在球心o處產生的電勢為u0 ，則：
u0 = kq感(－)
作出u—q感的圖象如圖11—5甲所示，假設電量q是乙份乙份地從無窮遠處移到球心，而球內外表面上的感應電荷q感隨球心處的電荷增加而增加，在此過程中移動電荷所做的功就應等於u1—q感圖象中陰影部分所示的三角形的面積，則有：
w =q感u
當q感 = q時，u = u0 = kq(－)
那麼移走q時所做的功應為(－) ，所以：w = (－)
例6：電源電動勢為ε ，內電阻為r ，試求其外電阻為何值時，電源的輸出功率最大？
解析：根據全電路歐姆定律得ε = u + ir ，由此可知當ε 、r不變時，u隨i線性變化，作u—i圖，圖中所圍面積為功率。
設電源的輸出電流為i ，路端電壓為u ，由於u = ε－ir ，故作u—i圖如圖11—6所示，以ab線上任意一點和座標原點為相對頂點所圍成的矩形的面積為：
s = iu
顯然s表示此時電源對應的輸出功率，要使電源的輸出功率最大，即要此矩形的面積最大，由幾何知識得，當乙個頂點位於ab線段中點c處的矩形面積最大，從圖中可得：
u根據歐姆定律有：u =r
由①、②解得：r = r
即當外電阻r+r時，電源的輸出功率最大，其最大值為：
例7：在11—7圖中，安培表的讀數為i1 = 20ma 。如果電池εx反向聯結，電流增加到i2 = 35ma 。
如果電燈發生短路時，電路中的電流i等於多少？燈泡的伏安特性曲線如圖11—7甲所示。
解析：題目中給出ε1的數值為9v ，εx的大小不確定。當εx從正向變為反向聯結時，迴路的總電動勢增大，在εx＜ε1和εx＞ε1的兩種情況下，i2都有可能增加。
所以要分兩種情況討論。
由燈泡的伏安特性曲線可知：當i1 = 20ma時，有u燈1 = 3v ，i2 = 35ma時，u燈2 = 9v 。
設兩個電源的內阻與電流錶內阻總和為r內 ，根據迴路電壓方程有：
（1）當ε1＞εx時，有：ε1－εx－u燈1 = i1r內
εx反向時，有：ε1 + εx－u燈2 = i2r內
由①+②得：2ε1－u燈1－u燈2 = (i1 + i2)r內
所以：r內 =ω
將③式代入①式得：εx = 3.8v
短路瞬間，可視電燈兩端電壓為零，所以原電路中的電流：
= 0.048a
（2）當ε1＜εx時，有：εx－ε1－u燈1 = i1r內
εx反向時，有：εx + ε1－u燈2 = i2r內
⑤—④得：2ε1－2u燈2 + u燈1 = (i2－i1)r內
所以：r內
將⑥式代入④式得：εx = 28v
當迴路短路時，電流為： == 0.024a
例8：如圖11—8所示，電源ε =12.0v ，內電阻r = 0.
6ω ，滑動變阻器與定值電阻r0（r0 = 2.4ω）串聯，當滑動變阻器的滑片p滑到適當位置時，滑動變阻器的發熱功率為9.0w ，求這時滑動變阻器ap部分的阻值rx 。
解析：由閉合電路歐姆定律作ap兩端的uap—i圖象，因圖上任意一點的uap與i所對應的矩形面積是外電路電阻rx的輸出功率，從而由已知rx的功率求出對應的rx值。
根據閉合電路歐姆定律u = ε－ir得：
uap = 12－(0.6 + 2.4)i = 12－3i ，作uap—i圖象如圖11—8甲所示，由圖可分析找到滑動變阻器的發熱功率為9w的a點和b點，所以rx有兩個值：
rx1 = 90ω ，rx1 = 90ω
例9：如圖11—9所示，一寬40cm的勻強磁場區域，磁場方向垂直紙面向裡。一邊長為20cm的正方形導線框位於紙面內，以垂直於磁場邊界的恆定速度v = 20cm/s通過磁場區域，在運動過程中，線框有一邊始終與磁場區域的邊界平行。
取它剛進入磁場的時刻t = 0 ，在下列圖線中，正確反映感應電流隨時間變化規律的是圖11—9甲中的哪乙個（ ）
解析：可將切割磁感應線的導體等效為電源按閉合電路來考慮，也可以直接用法拉第電磁感應定律按閉合電路來考慮。
半導線框部分進入磁場時，有恆定的感應電流，當整體全部進入磁場時，無感應電流，當導線框部分離開磁場時，又能產生相反方向的感應電流。所以應選c 。
例10：lc振盪迴路中電容器兩端的電壓u隨時間t變化的關係如圖11—10所示，則（ ）
a、在時刻t1 ，電路中的電流最大
b、在時刻t2 ，電路中磁場能最大
c、從時刻t2至t3 ，電路中的電場能不斷增大
d、從時刻t3至t4 ，電容的帶電量不斷增大
解析：在電磁振盪中，電路中的電流、磁場能、電容器的帶電量、電場能都隨時間做週期性的變化，但步調不同。電流和磁場能總是同步調製化，電壓、電量和電場能也是同步調製化的。
但電流和電容器的帶電量步調不同。電流為零時電量最大，故bc正確。
針對訓練
1．汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運動。當它路過某處的同時，該處有一輛汽車乙開始做初速為零的勻加速運動去追趕甲車。根據上述的已知條件（ ）
a、可求出乙車追上甲車時乙車的速度
b、可求出乙車追上甲車時乙車所走的路程
c、可求出乙車從開始起動到追上甲車時所用的時間
d、不能求出上述三者中任何乙個
2．一物體做勻變速直線運動，某時刻速度的大小為4公尺/秒，1秒鐘後速度的大小變為10公尺/秒。在這1秒鐘內該物體的（ ）
a、位移的大小可能小於4公尺 b、位移的大小可能大於10公尺
c、加速度的大小可能小於4公尺/秒2 d、加速度的大小可能大於10公尺/秒2
3．在有空氣阻力的情況下，以初速v1豎直上拋乙個物體，經過時間t1到達最高點。又經過時間t2 ，物體由最高點落回到拋出點，這時物體的速度為v2 ，則（ ）
a、v2 = v1 ，t2 = t1 b、v2＞v1 ，t2＞t1
c、v2＜v1 ，t2＞t1 d、v2＜v1 ，t2＜t1
4．一質點沿x軸做直線運動，其中v隨時間t的變化如圖11—11（a）所示，設t = 0時，質點位於座標原點o處。試根據v—t圖分別在11—11（b）及圖11—11（c）中盡可能準確地畫出（ ）
（1）表示質點運動的加速度a隨時間t變化關紗的a—t圖；
（2）表示質點運動的位移x隨時間t變化關係的x—t圖。
5．物體從某一高度由靜止開始滑下，第一次經光滑斜面滑至底端時間為t1 ，第二次經過光滑曲面acd滑至底端時間為t2 ，如圖11—12所示，設兩次通過的路程相等，試比較t1與t2的大小關係。
6．兩光滑斜面高度相等，乙斜面的總長度和甲斜面的總長度相等，只是由兩部分接成，如圖11—13所示。將兩個相同的小球從斜面的頂端同時釋放，不計在接頭處的能量損失，問哪個先滑到底端。
7．a、b兩點相距s ，將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質點）從a點由靜止開始向b做加速運動，但每過乙個等分點，加速度都增加，試求該物體到達b點的速度。
8．質量m = 1kg的物體a開始時靜止在光滑水平地面上，在第1 、3 、5 、…奇數秒內，給a施加同向的2n 的水平推力f ，在2 、4 、6 、…偶數秒內，不給施加力的作用，問經多少時間，a可完成s = 100m的位移。
9．沿光滑水平面在同一條直線上運動的a 、b兩物體相碰後共同運動，該過程的位移圖象如圖11—14所示。可以得出a、b的質量比為
10．一均勻的直角三角形木板abc ，可繞垂直紙面通過c點的水平轉動，如圖11—15所示。現用一始終沿直角邊ab的、作用於a點的力f使bc邊緩慢地由水平位置轉至豎直位置，在此過程中，力f的大小隨角α變化的圖線是圖11—15甲中的（ ）
11．火車重為g ，恆定牽引力為f ，阻力為f 。當它從靜止出發，由車站沿直線駛過s距離到另一站停止，如果途中不用剎車。
（1）求車行駛的最少時間是多少？
（2）途中最大速度是多少？
參***
1、a2、ad
3、c4、如圖所示：
5、t1＞t2
6、乙圖中小球先到底端
7、vb =
=8、13.64s
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