方法專題二：等效法解題
一．方法介紹
等效法是科學研究中常用的思維方法之一，它是從事物的等同效果這一基本點出發的，它可以把複雜的物理現象、物理過程轉化為較為簡單的物理現象、物理過程來進行研究和處理，其目的是通過轉換思維活動的作用物件來降低思維活動的難度，它也是物理學研究的一種重要方法．
用等效法研究問題時，並非指事物的各個方面效果都相同，而是強調某一方面的效果．因此一定要明確不同事物在什麼條件、什麼範圍、什麼方面等效．在中學物理中，我們通常可以把所遇到的等效分為：物理量等效、物理過程等效、物理模型等效等．
二．典例分析
1．物理量等效
在高中物理中，小到等效勁度係數、合力與分力、合速度與分速度、總電阻與分電阻等；大到等效勢能、等效場、向量的合成與分解等，都涉及到物理量的等效．如果能將物理量等效觀點應用到具體問題中去，可以使我們對物理問題的分析和解答變得更為簡捷．
例l．如圖所示，abcd為表示豎立放在場強為e=104v/m的水平勻強電場中的絕緣光滑軌道，其中軌道的bcd部分是半徑為r的半圓環，軌道的水平部分與半圓環相切a為水平軌道的一點，而且把一質量m=100g、帶電q=10－4c的小球，放在水平軌道的a點上面由靜止開始被釋放後，在軌道的內側運動。（g=10m/s2）求：
（1）它到達c點時的速度是多大？
（2）它到達c點時對軌道壓力是多大？
（3）小球所能獲得的最大動能是多少？
2．物理過程等效
對於有些複雜的物理過程，我們可以用一種或幾種簡單的物理過程來替代，這樣能夠簡化、轉換、分解複雜問題，能夠更加明確研究物件的物理本質，以利於問題的順利解決．
高中物理中我們經常遇到此類問題，如運動學中的逆向思維、電荷在電場和磁場中的勻速圓周運動、平均值和有效值等．
例2．如圖所示，在豎直平面內，放置乙個半徑r很大的圓形光滑軌道，0為其最低點．在0點附近p處放一質量為m的滑塊，求由靜止開始滑至0點時所需的最短時間．
例3．矩形裸導線框長邊的長度為2l，短邊的長度為l，在兩個短邊上均接有阻值為r的電阻，其餘部分電阻均不計．導線框的位置如圖所示，線框內的磁場方向及分布情況如圖，大小為．一電阻為r的光滑導體棒ab與短邊平行且與長邊始終接觸良好．起初導體棒處於x=0處，從t=0時刻起，導體棒ab在沿x方向的外力f的作用下做速度為v的勻速運動.試求：
（1）導體棒ab從x=0運動到x=2l的過程中外力f隨時間t變化的規律；
（2）導體棒ab從x=0運動到x=2l的過程中整個迴路產生的熱量．
3．物理模型等效
物理模型等效在物理學習中應用十分廣泛，特別是力學中的很多模型可以直接應用到電磁學中去，如衛星模型、人船模型、子彈射木塊模型、碰撞模型、彈簧振子模型等．實際上，我們在學習新知識時，經常將新的問題與熟知的物理模型進行等效處理．
例4．如圖所示，r1、r2、r3為定值電阻，但阻值未知，rx為電阻箱．當rx為rx1=10 ω時，通過它的電流ix1=l a；當rx為rx2=18 ω時，通過它的電流ix2=0.6a．則當ix3=0.l a時，求電阻rx3．
例5．如圖所示，傾角為θ=300，寬度l=1 m的足夠長的u形平行光滑金屬導軌固定在磁感應強度b=1 t、範圍足夠大的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面斜向上，用平行於導軌且功率恒為6 w的牽引力牽引一根質量m=0.2 kg，電阻r=1 ω放在導軌上的金屬棒ab由靜止沿導軌向上移動，當金屬棒ab移動2.8 m時獲得穩定速度，在此過程中金屬棒產生的熱量為5.
8 j(不計導軌電阻及一切摩擦，g取10 m／s2)，求：
(1)金屬棒達到的穩定速度是多大?
(2)金屬棒從靜止達到穩定速度所需時間是多少?
三．強化訓練
( ) 1． 如圖所示，一面積為s的單匝矩形線圈處於乙個交變的磁場中，磁感應強度的變化規律為。下列說法不正確的是
a、線框中會產生方向不斷變化的交變電流
b、在時刻，線框中感應電流將達到最大值
c、對應磁感應強度b＝b0的時刻，線框中感應電流也一定為零
d、若只增大磁場交變頻率，則線框中感應電流的頻率也將同倍數增加，但有效值不變
( ) 2．如圖所示電路中，電表均為理想的，電源電動勢e恆定，內阻r=1ω，定值電阻r3=5ω。當電鍵k斷開與閉合時，ab段電路消耗的電功率相等。則以下說法中正確的是
a．電阻r1、r2可能分別為4ω、5ω
b．電阻r1、r2可能分別為3ω、6ω
c．電鍵k斷開時電壓表的示數一定大於k閉合時的示數
d．電鍵k斷開與閉合時，電壓表的示數變化量大小與電流錶的示數變化量大小之比一定等於6ω
( ) 3． 乙個邊長為6 cm的正方形金屬線框置於勻強磁場中，線框平面與磁場垂直，電阻為0．36ω。磁感應強度b隨時間t的變化關係如圖3.2.
3所示，則線框中感應電流的有效值為
a．×10-5ab．×10-5a
c．（/2） ×10-5a d．（3/2） ×10-5a
( ) 4．如圖所示，dc是水平面，ab是斜面。初速為v0的物體從d點出發沿dba滑到頂點a時速度剛好為零。如果斜面改為ac，讓該物體從d點出發沿dca滑到點a點且速度剛好為零，則物體具有的初速度（已知物體與路面的動摩擦因數處處相同且不為零。
）a.大於v0 b.等於v0 c.小於v0 d.處決於斜面的傾角
( ) 5．如圖所示，兩塊同樣的玻璃直角三稜鏡abc，兩者的ac面是平行放置的，在它們之間是均勻的未知透明介質，一單色細光束o垂直於ab麵人射，在圖示的出射光線中
a.1、2、3（彼此平行）中的任一條都有可能
b.4、5、6（彼此平行）中的任一條都有可能
c.7、8、9（彼此平行）中的任一條都有可能
d.只能是4、6中的某一條
6．在如圖所示電路中，a、b是兩個完全相同的燈泡，兩燈的阻值與電阻r的阻值相同，與a併聯的電學元件m可能是電容器c，也可能是自感係數很大的而電阻可以忽略的線圈l，當開關s閉合瞬間，a、b兩燈中的電流ia、ib與m的關係是
a．若m是電容器c，則iaib
c．若m是線圈l，則ia< ib d．若m是線圈l，則ia> ib
7．如圖所示，在平行於水平地面的有理想邊界的勻強磁場上方，有三個大小相同的正方形線框，線框平面與磁場方向垂直。三個線框是用相同的金屬材料製成的，a線框有乙個缺口，b、c線框都閉合，但b線框導線的橫截面積比c線框大．現將三個線框從同一高度由靜止開始同時釋放，下列關於它們落地時間的說法正確的是
a．三個線框同時落地
b．三個線框中，a線框最早落地
c. b線框在c線框之後落地
d．b線框和c線框在a線框之後同時落地
( )8．如右圖所示，充電後的平行板電容器豎直放置，板間一帶正電的絕緣球用絕緣細線懸掛於a板上端，若將小球和細線拉至水平位置，由靜止釋放後小球將向下擺動直至與a板發生碰撞，此過程細線始終處於伸直狀態，則此過程中
a．小球電勢能一直增加
b．小球的動能一直增大
c．小球受細線的拉力一直在增大
d．小球運動的向心加速度先增大後減小
9．在光滑水平面上的o點係一長為l的絕緣細線，線的一端系一質量為m，帶電量為q的小球。當沿細線方向加上場強為e的勻強電場後，小球處於平衡狀態。現給小球一垂直於細線的初速度v0，使小球在水平面上開始運動。
若v很小，則小球第一次回到平衡位置所需時間為
10．如圖，帶電量為+q的點電荷與均勻帶電薄板相距為2d，點電荷到帶電薄板的垂線通過板的幾何中心．若圖中a點處的電場強度為零，根據對稱性，帶電薄板在圖中b點處產生的電場強度大小為＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿．(靜電力恒量為k)
11．如圖所示，電阻r1=r2=8ω，r3=4ω，r4=0.5ω，電源電勢e=0.5 v，內電阻r=0.5 ω，求安培表a1和a2的示數各為多少?
13．一條長為l的細線上端固定在o點，下端系乙個質量為m的小球，將它置於乙個很大的勻強電場中，電場強度為e，方向水平向右，已知小球在b點時平衡，細線與豎直線的夾角為θ，如圖所示，求：(1)當懸線與豎直方向的夾角為多大時，才能使小球由靜止釋放後，細線到豎直位置時，小球速度恰好為零?(2)當細線與豎直方向成θ角時，至少要給小球乙個多大的衝量，才能使小球在圖示的豎直平面內做完整的圓周運動?
例題解析：
例1.【解析】（1）、（2）設：小球在c點的速度大小是vc，對軌道的壓力大小為nc，則對於小球由a→c的過程中，應用動能定律列出：
…………………①
在c點的圓軌道徑向應用牛頓第二定律，有：
解得：………③
（3）∵mg=qe=1n ∴合場的方向垂直於b、c點的連線bc
∴合場勢能最低的點在bc 的中點d如圖
∴小球的最大能動ekm：
例2．【解析】滑塊做複雜的變速曲線運動，故用牛頓定律、動量定理等方法都難以求解，但我們通過仔細的分析發現，滑塊的受力、運動特徵與單擺相同，因此滑塊的運動可等效為單擺的運動，這樣，我們便可迅速地求出滑塊從p點到0點的最短時間為
由此可知，等效法是在效果相同的條件下，將複雜的狀態或運動過程合理地轉化成簡單的狀態或過程的一種思維方法．
例3．【解析】（1）在t時刻ab棒的座標為 1分
感應電動勢1分
迴路總電阻1分
迴路感應電流2分
棒勻速運動時有f=f安=bil
解得2分
（2）導體棒ab在切割磁感線的過程中產生半個週期的正弦交流電
感應電動勢的有效值為2分
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