六、遞推法
方法簡介
遞推法是解決物體與物體發生多次作用後的情況。 即當問題中涉及相互聯絡的物體較多並且有規律時，應根據題目特點應用數學思想將所研究的問題歸類，然後求出通式。 具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結論。
再根據多次作用的重複性和它們的共同點，把結論推廣，然後結合數學知識求解。 用遞推法解題的關鍵是匯出聯絡相鄰兩次作用的遞推關係式。
塞題精析
例1：質點以加速度a從靜止出發做直線運動，在某時刻t ，加速度變為2a ；在時刻2t ，加速度變為3a ；… ；在nt時刻，加速度變為(n + 1) a ，求：
（1）nt時刻質點的速度；
（2）nt時間內通過的總路程。
解析：根據遞推法的思想，從特殊到一般找到規律，然後求解。
（1）物質在某時刻t末的速度為vt = at
2t末的速度為v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at
3t末的速度為v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at
……則nt末的速度為vnt = v(n－)t + nat = at + 2at + 3at + … + nat = at (1 + 2 + 3 + … + n)
at (n + 1)n =n (n + 1)at
（2）同理：可推得nt內通過的總路程s =n (n + 1)(2n + 1)at2
例2：小球從高h0 = 180m處自由下落，著地後跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小（n = 2），求小球從下落到停止經過的總時間為通過的總路程。（g取10m/s2）
解析：小球從h0高處落地時，速率v0 == 60m/s
第一次跳起時和又落地時的速率v1 =
第二次跳起時和又落地時的速率v2 =
……第m次跳起時和又落地時的速率vm =
每次跳起的高度依次為h1 ==，h2 ==，……，
通過的總路程σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + …
h0 + (1
h0 += h0=h0 = 300m
經過的總時間為σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + …
1 + 2+ … + 2 ()m + …］
18s例3：a 、b 、c三隻獵犬站立的位置構成乙個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v ，a犬想追捕b犬，b犬想追捕c犬，c犬想追捕a犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調整方向，速度方向始終「盯」住對方，它們同時起動，經多長時間可捕捉到獵物？
解析：由題意可知，由題意可知，三隻獵犬都做等速率曲線運動，而且任一時刻三隻獵犬的位置都分別在乙個正三角形的三個頂點上，但這正三角形的邊長不斷減小，如圖6—1所示。所以要想求出捕捉的時間，則需用微元法將等速率曲線運動變成等速率直線運動，再用遞推法求解。
設經時間t可捕捉獵物，再把t分為n個微小時間間隔δt ，在每乙個δt內每只獵犬的運動可視為直線運動，每隔δt ，正三角形的邊長分別為a1 、a2 、a3 、… 、an ，顯然當an→0時三隻獵犬相遇。
a1 = a－aa1－bb1cos60°= a－vδt
a2 = a1－vδt = a－2×vδt
a3 = a2－vδt = a－3×vδt
……an = a－nvδt
因為a－nvδt = 0 ，即nδt = t
所以：t =
（此題還可用對稱法，在非慣性參考係中求解。）
例4：一列進站後的過載列車，車頭與各節車廂的質量相等，均為m ，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節車廂，那麼，利用倒退起動，該車頭能起動多少節同樣質量的車廂？
解析：若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節車廂動能都增加，若利用倒退起動，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節車廂起動的動能則不同。
原來掛鉤之間是張緊的，倒退後掛鉤間存在δs的寬鬆距離，設火車的牽引力為f ，則有：
車頭起動時，有：(f－μmg) δs =m
拉第一節車廂時：(m + m) = mv1
故有： == (－μg) δs
(f－2μmg) δs =×2m－×2m
拉第二節車廂時：(m + 2m) = 2mv2
故同樣可得： == (－μg) δs
……推理可得： = (－μg) δs
由＞0可得：f＞μmg
另由題意知f = 31μmg ，得：n＜46
因此該車頭倒退起動時，能起動45節相同質量的車廂。
例5 有n塊質量均為m ，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現將它們一塊一塊地疊放起來，如圖6—2所示，人至少做多少功？
解析將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算。
將第2塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為
w2 = mgd
將第3 、4 、… 、n塊磚依次疊放起來，人克服重力至少所需做的功分別為：
w3 = mg2d
w4 = mg3d
w5 = mg4d
……wn = mg (n－1)d
所以將n塊磚疊放起來，至少做的總功為
w = w1 + w2 + w3 + … + wn = mgd + mg2d + mg3d + … + mg (n－1)d
mgd例6：如圖6—3所示，有六個完全相同的長條薄片aibi（i = 2 、4 、…）依次架在水平碗口上，一端擱在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不計薄片的質量）。 將質量為m的質點置於a1a6的中點處，試求：
a1b1薄片對a6b6的壓力。
解析：本題共有六個物體，通過觀察會發現，a1b1 、a2b2 、…、a5b5的受力情況完全相同，因此將a1b1 、a2b2 、…a5b5作為一類，對其中乙個進行受力分析，找出規律，求出通式即可求解。
以第i個薄片ab為研究物件，受力情況如圖6—3甲所示，第i個薄片受到前乙個薄片向上的支援力ni 、碗邊向上的支援力和後乙個薄片向下的壓力ni+1。 選碗邊b點為軸，根據力矩平衡有：
nil = ni+1，得：ni =ni+1
所以：n1 =n2 =n3 = … = ()5n6 ①
再以a6b6為研究物件，受力情況如圖6—3乙所示，a6b6受到薄片a5b5向上的支援力n6、碗向上的支援力和後乙個薄片a1b1向下的壓力n1 、質點向下的壓力mg 。 選b6點為軸，根據力矩平衡有：
n1+ mg= n6l
由①、②聯立，解得：n1 =
所以，a1b1薄片對a6b6的壓力為。
例7：用20塊質量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為l ，橫截面是邊長為h（h =）的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），計算跨度與橋孔高度的比值。
解析：為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側應有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由於每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值。
將從上到下的積木塊依次計為1 、2 、… 、n ，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為：δx1 =
第2塊相對第3塊的最大伸出量為δx2（如圖6—4所示），則：
gδx2 = (－δx2) g
得：δx2 ==
同理可得第3塊的最大伸出量：
δx3 =
……最後歸納得出：δxn =
所以總跨度：k = 2= 11.32h
跨度與橋孔高的比值為： ==1.258
例8：如圖6—5所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點o兩側的人的序號都記為n（n = 1 、2 、3 、…）。 每人只有乙個沙袋，x＞0一側的每個沙袋質量為m = 14kg ，x＜0一側的每個沙袋質量m′= 10kg 。
一質量為m = 48kg的小車以某初速度v0從原點出發向正x軸方向滑行。 不計軌道阻力。 當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等於扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍。
（n是此人的序號數）
（1）空車出發後，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？
（2）車上最終有大小沙袋共多少個？
解析：當人把沙袋以一定的速度朝與車速相反的方向沿車面扔到車上時，由動量守恆定律知，車速要減小，可見，當人不斷地把沙袋以一定的速度扔到車上，總有一時刻使車速反向或減小到零，如車能反向運動，則另一邊的人還能將沙袋扔到車上，直到車速為零，則不能再扔，否則還能扔。
小車以初速v0沿正x軸方向運動，經過第1個（n = 1）人的身旁時，此人將沙袋以u = 2nv0 = 2v0的水平速度扔到車上，由動量守恆得：mv0－m2v0 = (m + m)v1 ，當小車運動到第2人身旁時，此人將沙袋以速度u′= 2nv1 = 4v1的水平速度扔到車上，同理有：(m + m)v1－m2nv1 = (m + 2m)v2 ，所以，當第n個沙袋拋上車後的車速為vn ，根據動量守恆有：
［m + (n－1)m］vn－1－2nm vn－1 = (m + nm)vn ，即：vn = vn－1 。
同理有：vn+1 =vn
若拋上（n + 1）包沙袋後車反向運動，則應有vn＞0 ，vn+1＜0
即：m－(n + 1)m＞0 ，m－(n + 2)m＜0
由此兩式解得：n＜，n＞。因n為整數，故取3 。
當車反向滑行時，根據上面同樣推理可知，當向左運動到第n個人身旁，拋上第n包沙袋後由動量守恆定律有：
［m + 3m + (n－1)m′］－2nm′vn－1 = (m + 3m + nm′)
解得： =
同理有： =
設拋上（n + 1）個沙袋後車速反向，要求＞0 ，≤0
即：解得
即拋上第8個沙袋後車就停止，所以車上最終有11個沙袋。
例9：如圖6—6所示，一固定的斜面，傾角θ = 45°，斜面長l = 2.00公尺。
在斜面下端有一與斜面垂直的擋板。 一質量為m的質點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零。下滑到最底端與擋板發生彈性碰撞。
已知質點與斜面間的動摩擦因數μ = 0.20 ，試求此質點從開始到發生第11次碰撞的過程中運動的總路程。
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