高中奧林匹克物理競賽解題方法
十三、降維法
方法簡介
降維法是將乙個三維圖變成幾個二維圖，即應選兩個合適的平面去觀察，當遇到乙個空間受力問題時，將物體受到的力分解到兩個不同平面上再求解。由於三維問題不好想像，選取適當的角度，可用降維法求解。降維的優點是把不易觀察的空間物理量的關係在二維圖中表示出來，使我們很容易找到各物理量之間的關係，從而正確解決問題。
賽題精講
例1：如圖13—1所示，傾角θ=30°的粗糙斜面上放
一物體，物體重為g，靜止在斜面上。現用與斜面底邊平
行的力f=g/2推該物體，物體恰好在斜面內做勻速直線運
動，則物體與斜面間的動摩擦因數μ等於多少？物體勻速
運動的方向如何？
解析：物體在重力、推力、斜面給的支援力和摩擦力
四個力的作用下做勻速直線運動，所以受力平衡。但這四
個力不在同一平面內，不容易看出它們之間的關係。我們
把這些力分解在兩個平面內，就可以將空間問題變為平面
問題，使問題得到解決。
將重力沿斜面、垂直於斜面分解。我們從上面、側面
觀察，圖13—1—甲、圖13—1—乙所示。
如圖13—1—甲所示，推力f與重力沿斜面的分力g1的合力f′為：
f′的方向沿斜面向下與推力成α角，
則這就是物體做勻速運動的方向
物體受到的滑動摩擦力與f′平衡，即
所以摩擦因數：
例2：如圖13—2所示，乙個直徑為d的圓柱體，其側面刻有螺距為h的光滑的螺旋形凹槽，槽內有一小球，為使小球能自由下落，必須要以多大的加速度來拉纏在圓柱體側面的繩子？
解析：將圓柱體的側面等距螺旋形凹槽展開成為平面上的斜槽，如圖13—2—甲所示，當圓柱體轉一周，相當於沿斜槽下降乙個螺距h，當圓柱轉n週時，外側面上一共移動的水平距離為①
圓弧槽內小球下降的高度為 ②
解①、②兩式，可得，為使螺旋形槽內小球能自由下落，圓柱體側面繩子拉動的加速度應為
例3：如圖13—3所示，表面光滑的實心圓球b的半徑
r=20cm，質量m=20kg，懸線長l=30cm。正方形物塊a的
厚度△h=10cm，質量m=2kg，物體a與牆之間的動摩擦因
數μ=0.2，取g=10m/s2。求：
（1）牆對物塊a的摩擦力為多大？
（2）如果要物體a上施加乙個與牆平行的外力，使物體a在未脫離圓球前貼著牆沿水平方向做加速度a=5m/s2 勻加速直線運動，那麼這個外力大小方向如何？
解析：這裡物體a、b所受的力也不在乙個平面內，混起來考慮比較複雜，可以在垂直於牆的豎直平面內分析a、b間壓力和a對牆的壓力；在與牆面平行的平面內分析a物體沿牆水平運動時的受力情況。
（1）通過受力分析可知牆對物塊a的靜摩擦力大小等於物塊a的重力。（2）由於物體a貼著牆沿水平方向做勻加速直線運動，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因為物體受豎直向下的重力，所以推力f方向應斜向上。
設物體a對牆的壓力為n，則沿垂直於牆的方向，物體b受到物體a的支援力大小也為n，有
又因為在與牆面平行的平面內，對物體a沿豎直方向
做受力分析，如圖13—3—甲所示有
沿水平方向做受力分析，有
由以上各式，解得
因此，對物體a施加的外力f的大小為20n，方向沿牆面斜向上且與物體a水平運動方向的夾角為
例4：一質量m=20kg的鋼件，架在兩根完全相同的平
行長直圓柱上，如圖13—4所示，鋼件的重心與兩柱等距，
兩柱的軸線在同一水平面內，圓柱的半徑r=0.025m，鋼件
與圓柱間的動摩擦因數μ=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線做
轉向相反的轉動，角速度若沿平行於柱軸的
方向施力推著鋼件做速度為的勻速運動，
求推力是多大？（設鋼件不發生橫向運動）
解析：本題關鍵是搞清滑動摩擦力的方向，滑動摩擦力
的方向與相對運動的方向相反，由於鋼件和圓柱都相對地面
在運動，直接不易觀察到相對地面在運動，直接不易觀察到
相對運動的方向，而且鋼件的受力不在同一平面內，所以考
慮「降維」，即選乙個合適的角度觀察。我們從上往上看，畫
出俯檢視，如圖13—4—甲所示。
我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力，先分析相對運動的方向，鋼件有向前的速度，左邊圓住有向右的速度,則鋼件相對於圓柱的速度是與的向量差，如圖中△v，即為鋼件相對於圓柱的速度，所以滑動摩擦力f的方向與△v，的方向相反，如圖13—4—甲所示。
以鋼件為研究物件，在水平面上受到推力f和兩個摩擦力f的作用，設f與圓柱軸線的夾角為θ，當推鋼件沿圓柱軸線勻速運動時，應有
①再從正面看鋼件在豎直平面內的受力可以求出fn，
如圖13—4—乙所示，鋼件受重力g和兩個向上的支
持力fn，且g=2fn，
所以把代入①式，得
推力例5：如圖13—5所示，將質量為m的勻質鏈條套在乙個表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為α，設圓錐底面水平，鏈條靜止時也水平，求鏈條內的張力。
解析：要求張力，應在鏈條上取一段質量元進行研究。因為該問題是三維問題，各力不在同一平面內，所以用「降維法」作出不同角度的平面圖進行研究。
作出俯檢視13—5—甲，設質量元兩端所受張力為t，其合力為f，因為它所對的圓心角θ很小，所以，即f=tθ。
再作出正檢視13—5—乙，質量元受重力g、支援力n和張力的合力f而處於平衡狀態，由幾何知識可得：
所以鏈條內的張力
例6：雜技演員在圓筒形建築物內表演飛車走壁。演員騎電單車從底部開始運動，隨著速度增加，圈子越兜越大，最後在豎直圓筒壁上勻速率行駛，如圖13—6所示。
如果演員和電單車的總質量為m，直壁半徑為r，勻速率行駛的速率為v，每繞一周上公升的距離為h，求電單車勻速走壁時的向心力。
解析：電單車的運動速度v，可分解為水平速度v1和豎直分速度為v2，則向心力速度為
。處理這個問題的關鍵是將螺旋線展開為乙個斜面，其傾角的余弦為
，如圖13—6—甲所示。
所以有向心加速度為：
向心力例7：a、b、c為三個完全相同的表面光滑的小球，b、c兩球各被一長為l=2.00m的不可伸和的輕線懸掛於天花板上，兩球剛好接觸，以接觸點o為原點作一直角座標系軸豎直向上，ox與兩球的連心線重合，如圖13—7所示。
今讓a球射向b、c兩球，並與兩球同時發生碰撞。碰撞前，a球速度方向沿y軸正方向，速率為。相碰後，a球沿y軸負方向**，速率=0.
40m/s。
（1）求b、c兩球被碰後偏離o點的最大位移量；
（2）討論長時間內b、c兩球的運動情況。（忽略空氣阻力，取g=10m/s2）
解析：（1）a、b、c三球在碰撞前、後的運動發生
在平面內，設剛碰完後，a的速度大小為，b、
c兩球的速度分別為與，在x方向和y方向的分速
度的大小分別為，，如圖13—7—甲所示，
由動量守恆定律，有 ①
②由於球面是光滑的，在碰撞過程中，a球對b球的作用力方向沿a、b兩球的連心線，a球對c球的作用力方向沿a、c兩球的連心線，由幾何關係，得
③由對稱關係可知 ④
解①、②、③、④式可得
由此解得
設c球在x>0, y>0, z>0的空間中的最大位移為q點的z座標為zq，則由機械能守恆定律可寫出 ⑤
所以代入數值解得 zq=0.32m
而q點到oz軸的距離為
所以c球離o點的最大位移量 ⑥
代入數值，得 ⑦
由對稱性，可得b球在的空間的最大位移量為
⑧（2）當b、c兩球各達到最大位移後，便做回到原點的擺動，並發生兩球間的碰撞，兩球第一次返回o點碰撞前速度的大小和方向分別為
方向沿正x軸方向
=2.20m/s 方向沿y軸方向
方向沿正x軸方向
=2.20m/s 方向沿y軸方向
設碰撞後的速度分別為，對應的分速度的大小分別為、、和，由於兩球在碰撞過程中的相互作用力只可能沿x軸方向，故碰撞後，沿y軸方向的速度大小和方向均保持不變（因為小球都是光滑的），即
= 方向沿負y軸方向 ⑨
= 方向沿負y軸方向 ⑩
碰撞過程中，沿x軸方向的動量守恆，則
因為所以
即碰撞後兩球在x方向的分速度大小也相等，方向相反，具體數值取決於碰撞過程中是否機械能損失。在a球與b、c兩球同時碰撞的過程中，碰撞前，三者的機械能
碰撞後三者的機械能
表明在碰撞過程中有機械能損失，小球的材料不是完全彈性體，故b、c兩球在碰撞過程中也有機械能損失，即
由⑨、⑩和三式，和
或當b、c兩球第二次返回o點時，兩球發生第二次碰撞，設碰撞後兩球的速度分別為，對應的分速度的大小分別為，
則有或由此可見，b、c兩球每經過一次碰撞，沿x方向的分速度都要變小，即
……而y方向的分速度的大小保持不變，即
……當兩球反覆碰撞足夠多次數後，沿x方向的分速度為零，只有y方向的分速度。設足夠多的次數為n，則有
即最後，b、c兩球一起的oyz平面內擺動，經過最低點o的速度由式給出，設最高點的z軸座標為，則得
代入數值，得
最高點的y座標由下式給出：
代入數值，得：
例8：一半徑r=1.00m的水平光滑圓桌面，圓心為o，
有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是
一條凸的平滑的封閉曲線c，如圖13—8所示。一根不可伸
長的柔軟的細輕繩，一端固定在封閉曲線上某一點，另一端
系一質量為m=7.5×10—2kg的小物塊。將小物塊放在桌面上
並把繩拉直，再給小物塊乙個方向與繩垂直、大小為的初速度，物塊在桌面上運動時，繩將纏繞在立柱上。已知當繩的張力為t0=2.0n時，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運動。
（1）問繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度為多少？
（2）若繩剛要斷開時，桌面圓心o到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點到桌面圓心o的水平距離為多少？已知桌面高度h=0.80m，物塊在桌面上運動時未與立柱相碰。
取重力加速度大小為10m/s2。
解析：（1）這一問題比較簡單。繩斷開前，繩的張力即為物塊所受的向心力，因為初速度與繩垂直，所以繩的張力只改變物塊的速度方向，而速度大小不變，繩剛要斷開時，繩的伸直部分的長度可求出。
設繩的伸直部分長為x，則由牛頓第二定律得：
代入已知數值得：x=0.60m
（2）選取桌面為分析平面，將物塊的落地點投影到此分析平面上，然後由平拋運動的知識求解。
高中奧林匹克物理競賽解題方法遞推法
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高中奧林匹克物理競賽解題方法 01整體法
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高中奧林匹克物理競賽解題方法之六遞推法
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