競賽講座32
－多邊形的面積和面積變換
本講在初二幾何範圍內，通過例項對平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識不多，簡列如下：
（1） 全等形的面積相等；
（2） 多邊形的面積定理（三角形、梯形等，略）；
（3） 等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等（對梯形底相等應理解為兩底和相等）；
（4） 等底（等高）的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等於這底上的高（這高對應的底）的比.
以下約定以△abc同時表示△abc的面積.
1． 多邊形的面積
例1 （第34屆美國中學數學競賽題）在圖23-1的平面圖形中，邊af與cd平行，bc與ed平行，各邊長為1，且∠fab=∠bcd=，該圖形的面積是（ ）
（a） （b）1 （c） （d） （e）2
分析將這個圖形分解為若干個基本圖形——三角形，連bf、be、bd得四個與△abf全等的正三角形，進一步計算可得圖形面積為.所以選（d）.
例2 （第5屆美國數學邀請賽試題）如圖23-2五條線段把矩形abcd分成了面積相等的四部分，其中xy=yb+bc+cz=zw=wd+da+ax，而pq平行於ab.如果bc=19cm，pq=87cm，則ab的長度等於
分析如圖,延長pq交ad、cb於e、f.由yb+bc+cz=wd+da+ax知a+c=b+d,又梯形pqwz與梯形pqyx面積相等,故e、f分別為ad、cb的中點.
而saxpwd=sbyqzc，∴ep=qf，設為e.
由saxpwd=spqzw 得
∴2e=106，
∴ab=2e+87=193.
例3.如圖23-3四邊形abcd的兩邊ba和cd相交於g，e、f各為bd、ac的中點.試證：△efg的面積等於四邊形abcd面積的四分之一.
分析注意到e、f各為bd、ac的中點，鏈結ea、ec和fd.則
如果能夠證明△efg的面積等於四邊形aefd的面積，問題即可解決.為此，取ad的中點p，連pe、pf，則pe∥gb，pf∥gc.於是△gep=△aep，△gfp=△dfp.
而△pef公用.∴△gef=saefd.至此，問題得解.
證明略.
2． 利用面積變換解幾何題
先看乙個例子.
例4.以直角三角形abc的兩直角邊ac、bc為一邊各向外側作正方形acde、bcgh，鏈結be、ah分別交ac、bc於p、q.求證:cp=cq.
證明 (如圖23-4)顯然s△gcq=s△hcq，
∵hb∥ag，
∴s△gcq=s△ach=s△abc.
同理,s△bdp=s△abc.
∴s△agq=s△bdp,
∴cq·ag=cp·bd.
∵ag=ac+gc
=dc+bc=bd，
∴cp=cq.
此例是關於平面圖形中線段的等式，看似與面積無關，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關係達到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關係入手來研究圖形的度量關係和位置關係的方法即所謂面積變換.
例5 (第37屆美國中學數學競賽題)圖23-5中,abcde是正五邊形,ap、aq和ar是由a向cd、cb和de的延長線上所引的垂線.設o是正五邊形的中心,若op=1,則ao+aq+ar等於( ).
（a）3 （b）1+
（c）4 （d）2+ (e)5
分析因題設中ap、aq、ar分別與cd、cb、de垂直，這就便於利用面積作媒介.注意到
即由cd=bc=de，
則ap+aq+ar=5·op
故ao+aq+ar=4.應選（c）.
例6 （第37屆美國中學數學競賽題）不等邊三角形abc的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數，那麼它的長度最大可能是（ ）.
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
（e）不同於（a）-（d）的答案
解設△abc第三邊上的高為h，面積為s，則該三角形的三邊可表示為
顯見＞.據「三角形兩邊之和大於第三邊」有+＞，+＞.
解得3＜h＜6.所以選（b）.
例7 圖23-6中，已知ab是直角三角形abc的斜邊，在射線ac、bc上各取一點、，使p、q是△abc內兩點，如果p，q到△abc各邊的距離之和相等，則pq∥；反之亦然.
證明設p、q到△abc各邊的距離之和分別為s（p），s（q）.連pa、pb、p、p，不難發現△apb+△ap+△pb-△p=△abc-△c（定值）.於是=
同理，顯然，當s（p）=s（q）時，，
∴pq∥
反之，當pq∥時，
∴s（p）=s（q）.
3． 乙個定理的應用定理
已知△abc、△dbc共邊bc，ad交bc或其延長線於e，則
分析當b或c點與e重合時，結論顯然成立.當b、c都不與e重合時，有兩種情況：若e在bc之間，由△abe=易知結論成立；若e在bc之外類似可證.證明略.
這個定理敘述的事實雖然簡單,但卻能解決大問題.
例8 (2023年全國初中數學聯賽試題)如圖23-8已知四邊形abcd內有一點e,連線ae、be、ce、de，將四邊形abcd分成四個面積相等的三角形，那麼命題（ ）.
甲. abcd是凸四邊形; 此處無圖
乙. e是對角線ac的中點或對角線bd的中點;
丙. abcd是平行四邊形中.
(a) 只有甲正確 (b)只有乙正確 (c)甲、乙、丙都正確 （d）甲、乙、丙都不正確
分析如果abcd是以ac為對稱軸的凹四邊形，易見ac的中點具有題中e點所要求的性質，所以甲、丙都不正確.
設ae、be、ce、de將四邊形abcd分成四個面積相等的三角形，bd、ac交於f，由△abe=△ade及本講定理知f是bd的中點，即e在af上.
如果f與e重合，則e是bd的中點，乙成立.如果f與e不重合，同理由△bec=△dec是e在直線cf上，也就是說a、c都在直線ef上.再由△abe=△bec，得ae=ec，所以e是ac的中點，乙成立.
所以選（b）.
如果將三點a、b、c在一條直線上看成是△abc的蛻化情況，那麼a、b、c三點共線等價於△abc=0.由此引出證明三點共線的一條極自然的思路:欲證三點a、b、c共線，只要證明△abc=0.
為了計算△abc的面積，常在a、b、c之外適當選一點p，如果△pab、△pbc、△pac三者之中乙個等於另兩個之和，則自然有△abc=0，這方面傳統的例子是梅內勞斯定理的證明.
例9在圖33-9△abc的兩邊ab、ac上分別取e、f兩點，在bc的延長線上取點d，使
則d、e、f三點共線. 此處無圖
證明設則
於是 ①
② ③由①、②、③易得△bde=△bef+△bdf，
∴d、e、f三點共線.
說明：a、b、c共線即點b在直線ac上.由此即知慾證l1、l2、l3共點，只要證l1、l2的交點b在直線l3上，若在l3上別取點a、c，則只要證明△abc=0即可.
看來三線共點的問題可轉化為三點共線來解決，這方面典型的例子是塞瓦定理的證明（見練習題）.
最後，我們來看乙個漂亮的作圖問題.
例10設a、b是直線l1上的兩點，而c、d是直線l2上的兩點，l1與l2交於o，作出平面上一切滿足條件△pab=△pcd的點p.
分析如圖23-10，在l1上取e、f，使o為ef中點且eo=ab；在l2上取g、h，使o為gh中點且go=cd.不妨設e、g、f、h之順序使egfh成為以o為中心的平行四邊形.設eg、gf、fh、he之中點順次為m、s、n、r，則p點為直線mn和rs上的一切點.
設p為rs上或mn上任一點，由作圖知△pab=△pfo，△pcd=△pgo.由本講定理知△pfo=△pgo，所以△pab=△pcd.當p點不在直線mn上且不在rs上時，可以用反證法證明△pab≠△pcd.
練習二十三
1． 選擇題
（1）等腰△abc中，一腰上的高線長為，這個高線與底邊的夾角是，△abc的面積是（ ）.
（a） （b）2 （c）2 （d） （e）以上答案都不對
（2）如圖，abcd是面積為1的正方形，△pbc為正三角形，則△bpd的面積為（ ）.
（a） （b） （c） （d） （e）
（3）已知等腰△abc一腰上的中線為15，底邊上的高為18，則△abc的面積是（ ）.
（a）124 （b）144 （c）150 （d）以上答案都不對
2.填空題
(1) 已知一張矩形紙片abcd,ab=a,bc=ka,將紙片摺疊一次,使頂點a與c重合,如果紙片不重合部分面積為,則k
(2) 已知等腰梯形abcd的兩對角線ac、bd互相垂直相交，且梯形的面積為100cm2，則梯形的高h
(3) (第3屆美國數學邀請賽試題)如圖所示,將△abc的三個頂點與同乙個內點連線起來,所得三條聯線把△abc分成六個小三角形,其中四個小三角形的面積已在圖上標明. △abc的面積是
(4) (2023年西安初中數學競賽題)設△abc的面積為1,則△def的面積是
3.如圖,b在ac上,q在pr上,pb∥qc，aq∥br.求證：ap∥cr.
4．（2023年加拿大中學生笛卡爾數學競賽題）設ad為△abc一中線，引任一直線cf交ad於e，交ab於f.
證明ae·fb=2af·ed.
5．（塞瓦定理）設x、y、z分別是△abc的邊bc、ca、ab上的點，若
則ax、by、cz三線共點.
6．（2023年中學生聯合數學競賽題）如圖，在四邊形abcd中△abd，△bcd，△abc的面積比是3：4：1，點m，n分別在ac，cd上，滿足am：
ac=cn：cd，並且b、m、n三點共線，求證：m與n分別是ac與cd的中點.
此處無圖
7．p為△abc內部一點，p到邊ab、ac的距離為pe、pf，pe=q，pf=r，pa=x，求證：ax≥cq+br.（a，b，c為相應頂點對應的邊長）
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