2023年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（理工類）
名師簡評
該套試卷整體上來說與往年相比，比較平穩，試題中沒有偏題和怪題，在考查了基礎知識的基礎上，還考查了同學們靈活運用所學知識的解決問題的能力。題目沒有很多漢字的試題，都是比較簡約型的。但是不乏也有幾道創新試題，像選擇題的第8題，填空題的13題，解答題第20題，另外別的試題保持了往年的風格，入題簡單，比較好下手，但是做出來並不是很容易。
整體上試題由梯度，由易到難，而且大部分試題適合同學們來解答體現了雙基，考查了同學們的四大思想的運用，是乙份比較好的試卷。
本試卷分為第i卷（選擇題〉和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分,考試用時120分鐘
第i卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）是虛數單位，複數=
（a１．b
【命題意圖】本試題主要考查了複數的概念以及複數的加、減、乘、除四則運算.
【解析】===
（２）設，則「」是「為偶函式」的
（a）充分而不必要條件必要而不充分條件
（ｃ）充分必要條件既不充分也不必要條件
2．a【命題意圖】本試題主要考查了三角函式的奇偶性的判定以及充分條件與必要條件的判定.
【解析】∵為偶函式，反之不成立，∴「」是「為偶函式」的充分而不必要條件.
（３）閱讀右邊的程式框圖，執行相應的程式，當輸入的值為時，輸出的值為
（a3．c
【命題意圖】本試題主要考查了演算法框圖的讀取，並能根據已給的演算法程式進行運算.
【解析】根據圖給的演算法程式可知：第一次，第二次，則輸出.
（4）函式在區間內的零點個數是
（a）0 （ｂ）1 （ｃ）2 （ｄ）3
4．b【命題意圖】本試題主要考查了函式與方程思想，函式的零點的概念，零點存在定理以及作圖與用圖的數學能力.
【解析】解法1：因為，，即且函式在內連續不斷，故在內的零點個數是1.
解法2：設，，在同一座標系中作出兩函式的影象如圖所示：可知b正確.
（5）在的二項展開式中，的係數為
（a）10 （ｂ）-10 （ｃ）40 （ｄ）-40
5．d【命題意圖】本試題主要考查了二項式定理中的通項公式的運用，並借助於通項公式分析項的係數.
【解析】∵=，∴，即，∴的係數為.
（6）在△abc中，內角，，所對的邊分別是，已知，，則cosc=
（a6．a
【命題意圖】本試題主要考查了正弦定理、三角函式中的二倍角公式. 考查學生分析、轉化與計算等能力.
【解析】∵，由正弦定理得，又∵，∴，所以，易知，∴，=.
（7）已知△abc為等邊三角形，，設點p，q滿足，，，若，則
（a7．a
【命題意圖】本試題以等邊三角形為載體，主要考查了向量加減法的幾何意義，平面向量基本定理，共線向量定理及其數量積的綜合運用.
【解析】∵=，=，
又∵，且，，，∴，，所以，解得.
（8）設，，若直線與圓相切，則的取值範圍是
（a（ｃ） （ｄ）
8．d【命題意圖】本試題主要考查了直線與圓的位置關係，點到直線的距離公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，並借助於直線與圓相切的幾何性質求解的能力.
【解析】∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離為，所以，設，
則，解得.
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
（9）某地區有小學150所，中學75所，大學25所. 現採用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調查，應從小學中抽取所學校，中學中抽取所學校.
9．18，9
【命題意圖】本試題主要考查了統計中的分層抽樣的概念以及樣本獲取的方法與計算.
【解析】∵分層抽樣也叫按比例抽樣，由題知學校總數為250所，
所以應從小學中抽取，中學中抽取.
（10）―個幾何體的三檢視如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積為 .
10．【命題意圖】本試題主要考查了簡單組合體的三檢視的畫法與體積的計算以及空間想象能力.
【解析】由三檢視可該幾何體為兩個相切的球上方了乙個長方體組成的組合體，所以其體積為：=.
（11）已知集合，集合,且，則
11．，
【命題意圖】本試題主要考查了集合的交集的運算及其運算性質，同時考查絕對值不等式與一元二次不等式的解法以及分類討論思想.
【解析】∵=,又∵，畫數軸可知，.
（12）己知拋物線的引數方程為（為引數），其中，焦點為，準線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，若，點的橫座標是3，則 .
12．2
【命題意圖】本試題主要考查了引數方程及其引數的幾何意義，拋物線的定義及其幾何性質.
【解析】∵可得拋物線的標準方程為，∴焦點，∵點的橫座標是3，則，所以點，
由拋物線得幾何性質得，∵，∴，解得.
（13）如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦.過點b作圓的切線與ac的延長線相交於點d,過點c作bd的平行線與圓相交於點ｅ，與ab相交於點f，，，，則線段的長為
13．【命題意圖】本試題主要考查了平面幾何中直線與圓的位置關係，相交弦定理，切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質.
【解析】∵，，，由相交弦定理得，所以，又∵bd∥ce，∴，=，設，則，再由切割線定理得，即，解得，故.
（14）已知函式的圖象與函式的圖象恰有兩個交點，則實數的取值範圍是
14．【命題意圖】本試題主要考查了函式的影象及其性質，利用函式影象確定兩函式的交點，從而確定引數的取值範圍.
【解析】∵函式的影象直線恆過定點，且，，，∴，，，由影象可知.
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（15）（本小題滿分13分）已知函式，.
(ⅰ)求函式的最小正週期；
（ⅱ）求函式在區間上的最大值和最小值.
【命題意圖】本試題主要考查了
【參***】
【點評】該試題關鍵在於將已知的函式表示式化為的數學模型，再根據此三角模型的影象與性質進行解題即可.
（16）（本小題滿分13分）現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個遊戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加個遊戲，擲出點數為1或2的人去參加甲遊戲，擲出點數大於2的人去參加乙遊戲.
（ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲遊戲的概率：
（ⅱ）求這4個人中去參加甲遊戲的人數大於去參加乙遊戲的人數的概率：
（ⅲ）用分別表示這4個人中去參加甲、乙遊戲的人數，記，求隨機變數的分布列與數學期望.
【命題意圖】本試題主要考查了
【參***】
【點評】應用性問題是高考命題的乙個重要考點，近年來都通過概率問題來考查，且常考常新,對於此類考題，要注意認真審題，從數學與實際生活兩個角度來理解問題的實質,將問題成功轉化為古典概型，獨立事件、互斥事件等概率模型求解，因此對概率型應用性問題，理解是基礎，轉化是關鍵.
（17）（本小題滿分13分）如圖，在四稜錐中，丄平面，丄，丄，，，.
(ⅰ)證明丄；
（ⅱ）求二面角的正弦值；
（ⅲ）設e為稜上的點，滿足異面直線be與cd所成的角為，求ae的長.
【命題意圖】本試題主要考查了
【參***】
【點評】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習的試題相似，但底面是非特殊
的四邊形，一直線垂直於底面的四稜錐問題，那麼創新的地方就是第三問中點e的位置是不確定的，需要學生根據已知條件進行確定，如此說來就有難度，因此最好使用空間直角座標系解決該問題為好.
（18）(本小題滿分13分）已知{}是等差數列，其前項和為，{}是等比數列,且=
，，.(ⅰ)求數列{}與{}的通項公式；
(ⅱ)記，，證明.
【命題意圖】本試題主要考查了
【參***】
【點評】該試題命制比較直接，沒有什麼隱含的條件，就是等比與等差數列的綜合應用，但方法多樣，第二問可以用錯位相減法求解證明，也可用數學歸納法證明，給學生思維空間留有餘地，符合高考命題選拔性的原則.
（19）（本小題滿分14分）設橢圓的左、右頂點分別為a，b，點p在橢圓上且異於a，b兩點，為座標原點.
（ⅰ）若直線ap與bp的斜率之積為，求橢圓的離心率；
（ⅱ）若，證明直線的斜率滿足.
【命題意圖】本試題主要考查了
【參***】
【點評】
（20）（本小題滿分14分）已知函式的最小值為，其中.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若對任意的,有成立，求實數的最小值；
（ⅲ）證明.
【命題意圖】本試題主要考查了
【參***】
【點評】試題分為三問，題面比較簡單，給出的函式比較常規，因此入手對於同學們來說沒有難度，第二問中，解含引數的不等式時，要注意題中引數的討論所有的限制條件，從而做到不重不漏；第三問中，證明不等式，應借助於導數證不等式的方法進行.
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