2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學（江蘇卷）
參考公式：
一組資料的方差
其中為這組資料的平均數
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的。
（1）已知，函式為奇函式，則a＝
（a）0 （b）1 （c）－1 （d）±1
（2）圓的切線方程中有乙個是
（a）x－y＝0 （b）x＋y＝0 （c）x＝0 （d）y＝0
（3）某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組資料的平均數為10，方差為2，則｜x－y｜的值為
（a）1 （b）2 （c）3 （d）4
（4）為了得到函式的影象，只需把函式的影象上所有的點
（a）向左平移個單位長度，再把所得各點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變）
（b）向右平移個單位長度，再把所得各點的橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變）
（c）向左平移個單位長度，再把所得各點的橫座標伸長到原來的3倍（縱座標不變）
（d）向右平移個單位長度，再把所得各點的橫座標伸長到原來的3倍（縱座標不變）
（5）的展開式中含x的正整數指數冪的項數是
（a）0 （b）2 （c）4 （d）6
（6）已知兩點m（－2，0）、n（2，0），點p為座標平面內的動點，滿足 ＝0，則動點p（x，y）的軌跡方程為
（a） （b） （c） （d）
（7）若a、b、c為三個集合，，則一定有
（a） （b） （c） （d）
（8）設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恆成立的是
（a） （b）
（c） （d）
（9）兩相同的正四稜錐組成如圖1所示的幾何體，可放稜長為1的正方體內，使正四稜錐的底面abcd與正方體的某乙個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有
（a）1個 （b）2個
（c）3個 （d）無窮多個
（10）右圖中有乙個訊號源和五個接收器。接收器與訊號源在同乙個串聯線路中時，就能接收到訊號，否則就不能接收到訊號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連線，則這五個接收器能同時接收到訊號的概率是
（a） （b）
（c） （d）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。不需要寫出解答過程，請把答案直接填空在答題卡相應位置上。
（11）在△abc中，已知bc＝12，a＝60°，b＝45°，則ac＝ ▲
（12）設變數x、y滿足約束條件，則的最大值為 ▲
（13）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有 ▲ 種不同的方法（用數字作答）。
（14）＝ ▲
（15）對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱座標為，則數列的前n項和的公式是 ▲
（16）不等式的解集為 ▲
三、解答題：本大題共5小題，共70分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分，第一小問滿分5分，第二小問滿分7分）
已知三點p（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（ⅰ）求以、為焦點且過點p的橢圓的標準方程；
（ⅱ）設點p、、關於直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。
（18）（本小題滿分14分）
請您設計乙個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六稜柱，上部的形狀是側稜長為3m的正六稜錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點o到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？
（19）（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）
在正三角形abc中，e、f、p分別是ab、ac、bc邊上的點，滿足ae:eb＝cf:fa＝cp:
pb＝1:2（如圖1）。將△aef沿ef折起到的位置，使二面角a1－ef－b成直二面角，鏈結a1b、a1p（如圖2）
（ⅰ）求證：a1e⊥平面bep；
（ⅱ）求直線a1e與平面a1bp所成角的大小；
（ⅲ）求二面角b－a1p－f的大小（用反三角函式表示）
（20）（本小題滿分16分，第一小問4分，第二小問滿分6分，第三小問滿分6分）
設a為實數，設函式的最大值為g(a)。
（ⅰ）設t＝，求t的取值範圍，並把f(x)表示為t的函式m(t)
（ⅱ）求g(a)
（ⅲ）試求滿足的所有實數a
（21）（本小題滿分14分）
設數列、、滿足：，（n=1,2,3,…），
證明為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1,2,3,…）
1【思路點撥】本題考查函式的奇偶性，三角函式sinx的奇偶性的判斷，本題是一道送分的概念題
【正確解答】解法1由題意可知，得a=0
解法2：函式的定義域為r,又f(x)為奇函式,故其圖象必過原點即f(0)=0,所以得a=0,
解法3由f(x)是奇函式圖象法函式畫出的圖象選a
【解後反思】對數學概念及定理公式的深刻理解是解數學問題的關健,討論函式的奇偶性,其前提條件是函式的定義域必須關於原點對稱.
若函式f(x)為奇函式的圖象關於原點對稱.
若函式f(x)為偶函式的圖象關於y軸對稱.
2【思路點撥】本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等於半徑.
【正確解答】直線ax+by=0，則，由排除法，
選c,本題也可數形結合，畫出他們的圖象自然會選c,用圖象法解最省事。
【解後反思】直線與圓相切可以有兩種方式轉化(1)幾何條件:圓心到直線的距離等於半徑(2)代數條件:直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉化成判別式等於零來解.
3【思路點撥】本題考查統計的基本知識，樣本平均數與樣本方差的概念以及求解方程組的方法
【正確解答】由題意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出，設x=10+t, y=10-t,，選d
【解後反思】
4【思路點撥】本題主要考三角函式的圖象變換，這是一道平時訓練的比較多的一種型別。
【正確解答】先將的圖象向左平移個單位長度，
得到函式的圖象，再把所得圖象上各點的橫座標伸長到原來的3倍（縱座標不變）得到函式的影象
【解後反思】由函式的圖象經過變換得到函式
（1）．y=asinx，xr(a>0且a1)的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱座標伸長(a>1)或縮短(0（2）函式y=sinωx, xr (ω>0且ω1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫座標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱座標不變）
（3）函式y＝sin(x＋)，x∈r(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當＞0時)或向右(當＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到 (用平移法注意講清方向：「加左」「減右」)
可以先平移變換後伸縮變換，也可以先伸縮變換後平移變換，但注意：先伸縮時，平移的單位把x前面的係數提取出來。
5【思路點撥】本題主要考查二項式展開通項公式的有關知識.
【正確解答】的展開式通項為，因此含x的正整數次冪的項共有2項.選b
【解後反思】多項式乘法的進製規則.在求係數過程中,盡量先化簡,降底數的運算級別,盡量化成加減運算,在運算過程可以適當注意令值法的運用,例如求常數項,可令.在二項式的展開式中，要注意項的係數和二項式係數的區別.
6【思路點撥】本題主要考查平面向量的數量積運算，拋物線的定義.
【正確解答】設，，，
則由，則，
化簡整理得所以選b
【解後反思】向量的座標表示和數量積的性質在平面向量中的應用是學習的重點和難點.也是高考常常考查的重要內容之一.在平時請多多注意用座標如何來表示向量平行和向量垂直,既要注意它們聯絡,也要注意它們的區別.
7【思路點撥】本題主要考查.集合的並集與交集運算，集合之間關係的理解。
【正確解答】因為由題意得所以選a
【解後反思】對集合的子、交、並、補運算，以及集合之間的關係要牢固掌握。本題考查三個抽象集合之間的關係，可以考慮借助與文氏圖。
8【思路點撥】本題主要考查.不等式恆成立的條件，由於給出的是不完全提幹，必須結合選擇支，才能得出正確的結論。
【正確解答】運用排除法，c選項，當a-b<0時不成立。
【解後反思】運用公式一定要注意公式成立的條件
如果如果a,b是正數，那麼
9【思路點撥】本題主要考查空間想象能力，以及正四稜錐的體積
【正確解答】由於兩個正四稜錐相同，所以所求幾何體的中心在正四稜錐底面正方形abcd中心，有對稱性知正四稜錐的高為正方體稜長的一半，影響幾何體體積的只能是正四稜錐底面正方形abcd的面積，問題轉化為邊長為1的正方形的內接正方形有多少種，所以選d.
【解後反思】正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉化。
10【思路點撥】本題主要考查平均分組問題及概率問題.
【正確解答】將六個接線點隨機地平均分成三組，共有種結果，五個接收器能同時接收到訊號必須全部在同乙個串聯線路中，有種結果，這五個接收器能同時接收到訊號的概率是，選d
【解後反思】概率問題的難點在於分析某事件所有可能出現的結果及其表示方法，而運用概率部分的性質、公式求某事件概率只是解決問題的工具而已
11【思路點撥】本題主要考查解三角形的基本知識
【正確解答】由正弦定理得，解得
【解後反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用餘弦定理
12【思路點撥】本題主要考查線性規劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然後求出目標函式的最大值.
【正確解答】畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點
a(3,4)處，目標函式z最大值為18
【解後反思】本題只是直接考查線性規劃問題，是一道較為簡單的送分題。近年來高考線性規劃問題高考數學考試的熱點，數形結合是數學思想的重要手段之一,是連線代數和幾何的重要方法。 隨著要求數學知識從書本到實際生活的呼聲不斷公升高,線性規劃這一類新型數學應用問題要引起重視。
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