19（本小題滿分14分）
已知函式．
設，．① 求方程的根；
② 若對於任意，不等式恆成立，求實數的最大值；
若，，函式有且只有1個零點，求的值．
解（1）① 略
② 由題意得恆成立，令，則由可得，此時在恆成立，設，當有，解得
當得綜上，因此實數的最大值為。
（2）解一因為有零點，即，知，兩邊取對數
，設 ，
設，則，由
，可得，，，，單
調遞增， 函式存在，當時，當
，當，又，即在
，當，函式在單調遞減，在
單調遞增，故函式在有最小值，而函式有且只有1個零點，即函式有且只有1個零點，而函式在有最小值，因此只能是是函式的零點，又，，因此，得=0，
即，則．
解二因為有零點，即，設
，函式存在，即時,，當，當，函式在單調遞減，在單調遞增，故函式在有最小值，因為函式有且只有1個零點，即函式有且只有1個零點，又函式在有最小值，因此只能是是函式的零點，又，，因此，得=0，即，則．
解三變形：因為有零點，即，知，兩邊取對數得，設函式：設, ,
研究函式的性質;，由，
有,即函式在上單調遞增，
又，函式的圖象上凸
畫函式影象:又。故的圖象是過（0，0）的曲線c，曲線c上的點隨著的增大值增大且影象上凸；的圖象是過（0，0）且斜率為的直線l，如圖。
列式求解；因為函式有且只有1個零點，即函式與函式的圖象有只有1個公共點，又兩個函式圖象都過（0,0），且函式單調遞增圖象上凸，則曲線c與直線l切於原點，故，即，則．
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