第２ｌ卷第２期
２０１２年６月
河南教育學院學報（自然科學版）
ｊｕｎ．２０１２
反例思想在數學分析教學中的作用
方金輝，王智勇
（南京資訊工程大學數學與統計學院。江蘇南京２１００４４）
摘要：通過無界函式與函式趨於無窮大的關係和中值定理只在實數範圍內成立兩個反例，說明運用反例思想
有利於加深學生對概念、定理的理解，培養學生思維的嚴密性，從而提高教學效果．
關鍵詞：數學分析；反例；教學；無界函式；中值定理中圖分類號
文獻標識碼：ａ
文章編號
反例思想是數學分析中的重要思想，對於概念、性質的理解以及問題的研究與論證都具有不可替代的作用．恰當運用反例，對於正確理解概念，鞏固和掌握定理、公式、法則，培養學生的邏輯思維能力，預防和糾正錯誤，具有十分重要的作用¨．
１注重反例加深對數學概念的理解
數學分析中許多概念都是以抽象的數學語言描述，學生不易憑直觀思考並理解其含義，此時恰當運用反例，不但可以加深學生對概念的理解，而且還可以溝通概念與概念之間的聯絡 ］．
例１ 無界函式與函式趨於無窮大的關係．
無界函式的定義與函式趨於無窮大的定義有些相似，然而這兩個概念有本質上的差異．若一時，廠（）一∞，則，在 。的每個領域內必定無界．反之，函式，在 。的任何領域內都是無界的，但當 — 。
時，）並不一定趨於無窮大．設
）：ｃｏｓ一１
，則對無論多大的整數ｍ，總有充分接近於 ：０的點，使得ｉｌ。ｌｉ＞ｍ，例如
取 ：，則故當ｎ＞絲ｄ１ｔ－，ｔ，就有ｉｌ一１。。１ｉｌ＞ｍ．因此，廠在 ：０的任何領域內都
是無界的．
但是，若取＝＿—÷＿＿－，則當 —ｏ。日寸，一０，此時一１ｃｏｓ一１—０，即ｆ並不趨於無窮大．
ｆｎ＋＿＝－１耵１
、２，由此可見，無界函式與函式極限趨於無窮大並不等價．
２應用反例培養學生思維的嚴密性
ｘｎｎ中值定理是數學分析課程中的乙個重要定理，但學生在學習時往往會忽略定理成立是在實數域範圍內這個隱含條件．
例２羅爾（ｒｏｌｌｅ）中值定理只在實數域範圍內成立．
羅爾（ｒｏｌｌｅ）中值定理若函式滿足條件：①，在［ｎ，ｂ］上連續；②ｆ在（。，ｂ）內可導；③－廠（。）＝，（ｂ），則在（ｏ，ｂ）內至少存在一點 ，使， （）＝０．
羅爾中值定理只在實數域範圍內成立．事實上，令此函式是處處連續和可微的，但是不存在區間（。，ｂ），使得 ∈（６／，，ｂ）滿足
，（ｂ）一，（ｏ）＝廠（）（ｂ—ｏ）．
收稿日期
（１）**專案：國家自然科學**江蘇省高校自然科學**
作者簡介：方金輝（１９８４一），女，安徽寧國人，南京資訊工程大學數學與統計學院講師，博士，主要研究方向：數論
５８河南教育學院學報（自然科學版）２０１２點
若（１）式成立，即
一一則等式兩邊模的平方應相等，所以
化簡得．
２ｂ—ａ，ｂ一０、
吼「丁ｉ丁
但這是不可能的，因為ｓｉｎ ｈ≠ｈ，對於任意的ｈ＞０．
上述反例說明，對於復值函式而言，中值定理不再有效．
３ 小結
ｊ』數學分析課程的教學實踐表明，在教學過程中，恰當運用反例，對於學生理解概念，克服對定理認識上的
偏差，培養學生思維的嚴謹性具有重要作用．恰當地運用反例思想，確實在數學分析教學中會起到事半功倍的效果，從而提高教學質量．
參考文獻
［３］董海瑞．**數學分析中反例的作用［ｊ］．太原大學教育學院學報華東師範大學數學系．數學分析［ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００１．
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