第２７卷第１期
２９１１年３月
滄州師範專科學校學報
小伽ｍａｒ．ｏｌｌ
數學教育專業學生學習中存在的問題及對策
王金花，孫蘭香，高**
（滄州師範學院數學系，河北滄州０６１００１）
摘要：師範院校數學系的很多學生，在對待專業課的學習上存在錯誤認識，認為大學學的高等數學課程在未來的中學
數學教學中無用武之地，這種錯誤思想的存在，嚴重影響了學生的學習積極性。針對這一問題，在長期的教學實踐中，
摸索出了一些有效的解決方法。
關鍵詞：函式影象；平面幾何；近似值；面積；體積；弧長
中圖分類號：ｇ６文獻標識碼：ａ文章編號一（ｉ３
在長期的教學實踐中，我們發現師專數學系的很多學生，在對待專業課的學習上存在錯誤認識，認為大學裡學的高等數學課程在未來的中學數學教學中無用武之地。這種錯誤思想的存在，嚴重影響了學生的學習積極性。初等數學知識是學習高等數學必備的基礎，但作為初等數學教師是否必備高等數學知識呢？
教學中我們經常和學生講，要想成為優秀的數學教師，首先要有豐厚的知識儲備，因為「要想給學生一滴水，老師首先要有一桶水」。這是說，老師只有站在更高的
的影象講解函式的性質。那麼函式ｙ＝｛的影象為什麼是
圖（ａ）的形狀？為什麼在區間（一∞，ｏ）和（０，＋ ）上不間斷？
為什麼是光滑的？為什麼影象下凸或上凸？這些初等數學
無法解釋清楚。
ｌ層次，才能更加游刃有餘，深入淺出地闡明道理。通過掌握高
等數學知識，才能深刻地理解和吃透中學教材，才能深化對教ｏｌ
ｒ：材內容本質的認識。通過高等數學的學習，不僅可以豐富數學知識，而且學生可以受到高層次的嚴格的思維訓練，使其分析問題、解決問題的能力、推理和運算能力都得到提高，更加
深入和熟練地掌握數學的思想方法，在初等數學的教學中自覺地運用這些思想方法。我們發現，這些道理，對學生雖然有
一（ａ）
初等數學裡涉及的函式影象，有些有幾何背景，如正弦函式、正切函式、圓、橢圓、雙曲線等，教師往往先借助其幾何
背景作出影象，再推導出或直接給出其函式方程。對大多數
１定的說服力，但還不能從根本上扭轉學生「學而無用」的思
想。在教學實踐中我們發現，通過具體事例來說明中學教師
具備高等數學知識的必要性對學生更具說服力。
函式，如二次函式、指數函式、反比例函式、對勾函式ｙ＝＋泣方拋物線ｙ＝ 等，它們的影象都是直接呈現給學生。但作為教師，不能看到書上是那樣畫的，就人云亦云，教師應明白影象的來歷。明白影象為什麼凹或凸？
有無拐點、極值
１關於函式的作圖
對初等數學中函式的教學，數形結合是一種非常重要且常用的思想方法，使用這種方法解決問題的前提是必須畫出函式的影象。
１點？是否光滑？向無限遠延伸時的走勢如何？有無漸近線？為什麼連續或間斷？函式的這些性質只有借助極限和
一、二階導數才能討論清楚。ｌｌ
初中數學裡講解反比例函式ｙ＝ 時，首先畫出函式的影象，教師把 ＝ 的影象直接呈現給學生，結合反比例函式
初等數學裡作函式ｙ＝廠（）的影象，都是在學生已經知
收稿日期：加ｌ０一ｌ１一ｏｌ
作者簡介：王金花（１９ 一），女，河北河間人，滄州師範學院數學系副教授；
孫蘭香（】９回一），女，河北海興人，滄ｌ州師範學院數學系副教授；高**（１９６５一），女，河北東光人，滄州師範學院數學系副教授。
９８ 道函式影象大致形狀的情況下的作圖。例如，作二次函式的
＝影象，一般採用列表描點法，先取一串自變數的值 ，，…，
ｘｎ，－＋青＋＋…＋＋…，ｅｒ
＝計算出相應的函式值ｙ。，，…，，從而得到乙個點列（ｌ，
再用光滑曲線將這些曲線連起來。
１＋青＋著＋…＋著＋（），兄（）
ｘｎ＋ｌｏ＜ ＜
＝設想如果事先不知道函式影象的大致形狀，這組點是任意取的，用光滑曲線連的時候凹凸任意畫，畫出的影象會五花八門，得到的不可能恰好就是函式＇，＝ｆ（）的影象。實際上從點的選取到用光滑曲線連點，都是依據了用微積分對，，＝廠１＋青＋２＋…＋籌
（）的影象的研究結果。首先，選點時一定要把極值點、拐點選在內。其次，函式影象的連續、光滑以及點與點之間用凹的
還是用凸曲線相連都是用微積分的知識研究過的，教師對研
究結果心中有數，學生在教師的引導下，作出函式的影象。
總之，要搞好初等數學中函式作圖部分的教學，或利用數形結合的思想方法解決問題，教師必須具備利用微積分研究函式的能力，要知道初等函式的連續性，會利用導數研究函式的單調性、極值、凹凸性、拐點，會利用函式極限求漸近線。
２關於周長、面積、體積公式
在初等數學中，由於學生基礎知識水平以及教學中課時數的限制，有些知識是不加推導地直接把結論告訴學生。如
圓的面積公式、圓的周長公式。對這些公式的推導教師不必
要也不可能為學生講明白，但教師對這些公式的推導和來歷
不能茫然無知。要想知道這些公式的來歷和推導過程，或者
進一步地想知道更一般的平面圖形的面積、曲線弧長、幾何體
的表面積、幾何體的體積的計算，就需要掌握各種型別積分的計算：一元函式的定積分、多元函式的重積分、第一型的曲線積分和第一型曲面積分等。實際上，在初等數學裡甚至沒有
給出曲線弧長、曲面面積、一般幾何體體積的定義，這些概念的嚴格定義是利用不同型別的積分給出的。高中數學第二冊（下ｂ）中推導了球的體積、球的表面積公式，採用了「分割、求和、取極限」的方法，這正是微積分學中定積分的思想方法。隨著高等數學的思想、方法在中學數學階段的滲透，以及部分
高等數學的內容下放到中學數學教育階段（如函式極限，函式導數，利用導數判斷函式單調性，利用導數求函式極值，空間
向量及其運算、線性規劃與概率統計的部分內容等），更需要
中學教師有紮實的高等數學基礎。２ｊ
３函式值近似值的計算
計算器的使用已非常普及，它取代了前些年使用的數學用表，給人們的工作帶來了極大的方便。在初中數學階段，教
師就要為學生講解計算器的使用方法。乙個有思想、有敏銳
洞察力的教師，應該會追問自己這些近似值是如何計算出來
的？如果適時地把這一問題拋給學生，雖然學生給不出答案，仍然能極大地激發學生的求知慾，培養學生對數學的興趣。要想知道這些近似值的計算，就要掌握泰勞公式和函式的冪級數展開，例如的近似值是這樣計算的：
ｅ＝，＋吉＋＋…＋去＋…
＝１＋可１＋＋…＋未＋咒（１），兄（１）＝，
。＜ ＜
於是得到ｅ的近似計算公式
ｅ＋吉＋＋…＋
餘項兄用來估計誤差，ｆ兄（１）ｉ＜
計算器上其它幾個常用函式值的計算，如三角函式、反三角函式、對數函式、冪函式等，也和函式＇，＝ｅｘ一樣，要用到函式的冪級數展式以及相應的泰勞公式，泰勞公式的餘項用來估計誤差，泰勞多項式的函式值作為近似值。
４關於平面幾何學
平面幾何是初等數學的重要組成部分，具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它已成為培養、提高學生邏輯思維能力的好教材。歷
史上很多科學家從學習幾何中得到益處，從而做出了偉大的
貢獻。從初中一年級開始，學生就學習平面幾何。作為教師，
對於所教每部分內容應有全域性觀，清楚知識的脈絡、架構，使教學做到心中有數，平面幾何部分也不例外。而教師教授這部分的關鍵就是要把幾何學的公理體系簡明扼要地講精、講透。抓住幾何學的本質把它的邏輯體系說透，使學生們感受到歐氏幾何內在的邏輯美，感受到推理證明的巨大力量。
要想達到以上的教學目的，教師就必須弄清平面幾何到底是怎
樣的乙個邏輯體系。首先，給出了不加定義的原始概念，如點戡、麵等，利用這些最原始的概念，去定義其它概念，如兩直線平行、三角形、平行四邊形、同位角等。給出了不加證明
的若干公理（具有自明性並被公認下來的命題稱為公理）：經過一點可以有無數條直線；經過兩點有且只有一條直線；兩點間直線段最短；過直線外（或直線上）一點有且僅有一條直線
與己知直線垂直；同位角相等，兩直線平行；過直線外一點有且僅有一條直線與己知直線平行；三角形全等的判定：邊角邊，角邊角，邊邊邊。以基本概念和公理為論證的起點，利用
純邏輯推理的方法，推導出新命題，再從公理、定義和已推得的命題出發，利用邏輯推理推出其它命題，依次類推，便得到了初中平面幾何的全部內容。從盡可能少的原始概念（不加
９９ 定義的概念）、公理出發，利用邏輯推理展開研究的方法，就是公理化方法。實際上，全部初中平面幾何的內容只是歐氏幾何內容的一部分，歐氏幾何學是用公理化方法研究問題的典型範例，而且是用得最早和最完善的。公理化方法在各個科學領域有著廣泛的應用，現代代數學、現代概率論、愛因斯坦
的相對論等都是用公理化方法建立起來的。教師在教會學生定義、公理、邏輯推導的同時，給學生滲透一些公理化的思
解，以及解是否不唯一。
從上面的敘述可以看出，高等數學中包含對某些初等知識、初等方法的實質性研究，正是由於這些研究，發展完善了
乙個又—個數學分支。反過來，當學習了高等數學後，又可以
提高對初等數學知識的認識。
６關於無理數ｅ
高中數學課本第一冊（上）提到了以無理數ｅ為底的對
數一自然對數，關於數ｅ和以ｅ為底的自然對數課本上只
想方法，對學生科學素質的培養會大有益處。如果教師了解
公理系統的三個特性：系統的無矛盾性、系統的獨立性、系統
的完備性，知道歐氏幾何的公理體系，教師會對公理化的思想方法有更深刻的認識，會對初中教材中的平面幾何內容理解
得更透徹、更全面。
提到一句話：「在科學技術中常常使用以ｅ為底的對數。」至於ｅ的來歷、ｅ的作用課本上沒有提及，學生在學完這部分內容後，對數ｅ往往感到非常困惑，只知道是個約等於２．７１８２８的無理數。
教師在備課時應深挖教材，對教材的每句話都要深刻理解，對ｅ的來歷、作用以及它在數學中的地位應有所了
解。如果教師為學生簡單介紹關於數ｅ的知識（如ｅ這個符
５線性方程與線性方程組
線性方程和線性方程組是反映客觀世界中數量之問相等關係的重要數學模型，許多實際問題可歸結為解線性方程
號是由數學家尤拉（眈 ）首先使用的，取他名字第乙個字母。１１
１１或線性方程組。初中一年級下冊的課本中，介紹了一元、二元
乃至三元一次方程組（即線性方程組）的解法：加減消元法和代人消元法。初中數學教學大綱要求要熟練掌握加減消元
它是數列｛（１＋）｝的極限，也是級數１＋百１＋ ＋…＋÷ｎ１：
：幾：１＋…的和，函式軸圍成平面圖形的面積為ｌｎ２等），既可以使學生開闊眼界，又可解除對數ｅ的疑惑。
法。認真剖析加減消元法的實質，加減消元法涉及的運算不外乎是將方程的兩端同乘以乙個非零數或兩個方程相加減。將方程的兩端同乘以—個非零數，實際上是將方程的係數和常數項同乘以乙個非零數；將兩個方程相加減，實際上是兩個方程中相同變數的係數、常數項相分別加減。
在這個過程中，參與運算的是方程的係數和常數項，各個變數並不參與運算。將這種解法本質的、精髓的東西提取、抽象出來，便是線性代數中最常用的解方程組的矩陣方法。該解法如下：
第一步，寫出方程組的增廣矩陣；第二步，利用矩陣的行初等變換，將增廣矩陣化為最簡階梯型矩陣。根據最簡階梯型矩陣，可一目
了然地看出方程組是否有解，解是否唯一，以及當有船時方程組的解。一方面，方程組的矩陣解法是通過對加減消元法的
其實ｅ是無理數的證明並不複雜，如果教師了解其證明過程，在講到ｅ是無理數時，會更心中有底。
在高等數學的教學中，對以上知識點適時地加以滲透，使學生意識到對初等數學的很多結論，只知其然不知其所以然。認識到自己知識的欠缺，如果停留在初等數學知識水平
上，對數學科學的認識將是膚淺的、表面化的，認識到自己具有的初等數學知識只是數學海洋裡的點點滴滴。以此來激
發學生的求知慾和好奇心，激發學生對數學的學習興趣，把學
生引到虛心向上、積極進取的學習狀態中來。
參考文獻：
［１］余世桂．函式影象教學中值得注意的幾個問題［ｊ］．數學
通報分析、研究得來，另一方面，學習了方程組的矩陣解法後，對初
等數學中解方程組的加減消元法會在認識上有乙個質的飛躍，而且可以大大提高研究問題的能力。不僅僅是會用加減消元法解
二、三元一次方程組，還可以在解方程組遇到困難
［２］華東師範大學數學系編．數學分析［ｍ］．北京：高等教育
出版社，砸顯．
時，停下來從另乙個角度考慮問題，去判斷一下方程組是否有
［責任編輯：劉志軍］０ｄ
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在數學實踐中，我發現，學生在學習中存在很多問題，諸如有的學生不喜歡上數學課，覺得呆板，毫無興趣 有的覺得數學知識難以理解，沒有語文那麼直觀 還有個別所謂 成績差 的學生，對數學更是喪失信心。還有很多問題，如 單純的席捲考試測評，更是打擊了部分學生的積極性。矯正學生數學存在問題的對策可以從以下幾方面進...
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