第三章直線與方程
3.1.1傾斜角和斜率
一、教學目標:
1.知識與技能
1）理解直線的傾斜角和斜率的概念．
2）掌握斜率公式的推導過程，過兩點的直線的斜率公式．
2.過程與方法
能對斜率和傾斜角的關係進行討論，經歷斜率公式的嚴格推導過程.
3.情感、態度與價值觀
1）讓學生初步感受用代數的方法表示幾何概念，感受代數表達的抽象與簡練．
2）培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神．
二、教學重點與難點
重點: 理解直線的傾斜角、斜率的概念和掌握直線的傾斜率公式.
難點：理解直線斜率公式的推導過程.
三、教學方法
啟發、引導、討論.
四、教學用具
三角板、多**投影儀
五、教學過程
（一）創設情景，匯入新課
我們知道, 經過兩點有且只有(確定)一條直線. 那麼, 經過一點p的直線的位置能確定嗎? 過一點p可以作無數多條直線a,b,c, …易見,答案是否定的.這些直線有什麼聯絡呢?
思考：(1)它們都經過點p. (2)它們的『傾斜程度』不同. 怎樣描述這種『傾斜程度』的不同?
（二）師生互動，**新知
1.直線的傾斜角的概念
當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規定α= 0°.
問: 傾斜角α的取值範圍是什麼? 0°≤α＜180°.
當直線l與x軸垂直時, α= 90°.
因為平面直角座標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之後, 我們就可以用傾斜角α來表示平面直角座標系內的每一條直線的傾斜程度.
直線a∥b∥c, 那麼它們的傾斜角α相等嗎? 答案是肯定的.所以乙個傾斜角α不能確定一條直線.
確定平面直角座標系內的一條直線位置的幾何要素: 乙個點p和乙個傾斜角α.
2.直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
k = tanα
⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°時, k = tan45°= 1;
α=135°時, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
學習了斜率之後, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.
3. 直線的斜率公式:
給定兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2),x1≠x2,如何用兩點的座標來表示直線p1p2的斜率?
在多**投影的輔助指導下，並引導學生如何作輔助線,共同完成斜率公式的推導.
公式推導（略）
斜率公式: [y_}x_}', 'altimg': '', 'w': '86', 'h': '53
對於上面的斜率公式要注意下面四點：
(1) 當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角α= 90°, 直線與x軸垂直；
(2) k與p1、p2的順序無關, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前後次序可以同時交換, 但分子與分母不能交換;
(3) 斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的座標求得;
(4) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角α=0°，直線與x軸平行或重合.
(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的座標先求斜率而得到．
(三)概念辨析，鞏固提高
例1 已知a(3, 2), b(-4, 1), c(0, -1), 求直線ab, bc, ca的斜率, 並判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線, 圖略)
分析: 已知兩點座標, 而且[≠x_', 'altimg': '', 'w': '55', 'h': '23'}], 由斜率公式代入即可求得k的值;
而當k = tanα<0時, 傾斜角α是鈍角;
而當k = tanα>0時, 傾斜角α是銳角;
而當k = tanα=0時, 傾斜角α是0°.
略解: 直線ab的斜率k1=[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h': '43'}]>0, 所以它的傾斜角α是銳角;
直線bc的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角α是鈍角;
直線ca的斜率[', 'altimg': '', 'w': '22', 'h': '23'}]=1>0, 所以它的傾斜角α是銳角.
例2 在平面直角座標系中, 畫出經過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.
分析:要畫出經過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點m. 而m的座標可以根據直線a的斜率確定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45°的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可.
(四)小結
(1)直線的傾斜角和斜率的概念．
(2) 直線的斜率公式.
(五)課後作業
p86練習：1,2，3，4.
p89習題3.1a組：1,2,3,4,5
3.1.2 兩條直線的平行與垂直的判定
一、教學目標
1.知識與技能
理解並掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.
2.過程與方法
通過**兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用代數方法來研究幾何問題.
3.情感、態度和價值觀
通過對兩直線平行與垂直的位置關係的研究，培養學生的成功意識，合作交流的學習方式,激發學生的學習興趣,欣賞解析幾何的代數抽象美．
二、教學重點、難點
重點： 熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件
難點： 研究兩條直線的平行或垂直問題的判斷．
三、教學方法
引導、啟發、討論，練習
四、教學過程
（一）創設情景，匯入課題
複習已經學習的直線的傾斜角和斜率的概念, 可以用傾斜角和斜率來表示直線相對於x軸的傾斜程度, 並推導出了斜率的座標計算公式. 現在, 我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直．
（二）師生互動，**新知
1. 先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直
討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率, (1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．
2. 兩條直線的斜率都存在時, 兩直線的平行
設直線 l1和l2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的, 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的.
所以我們下面要研究的問題是: 兩條互相平行或垂直的直線, 它們的斜率有什麼關係?
首先研究兩條直線互相平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(圖1-29)，那麼它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助多**, 讓學生通過觀察度量, 感知α1, α2的關係)
因為tgα1=tgα2 即 k1=k2．
反過來，如果兩條直線的斜率相等: 即k1=k2，那麼tgα1=tgα2．
由於0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．
又因為兩條直線不重合，兩條直線平行l1∥l2．
結論: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那麼它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那麼它們平行，即l1∥l2k1=k2.
注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論並不成立．即如果k1=k2, 那麼一定有l1∥l2; 反之則不一定.
3. 兩條直線的斜率都存在時, 兩直線的垂直
下面我們研究兩條直線垂直的情形．
結論: 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那麼它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那麼它們互相垂直，即
[⊥l_k_k_=1', 'altimg': '', 'w': '156', 'h': '23'}]
注意: 結論成立的條件. 即如果k1·k2 = -1, 那麼一定有[⊥l_', 'altimg':
'', 'w': '46', 'h': '23'}]; 反之則不一定.
（三）概念辨析，鞏固提高
例1 已知a(2,3), b(-4,0), p(-3,1), q(-1,2), 試判斷直線ba與pq的位置關係, 並證明你的結論.
分析: 借助**動畫展示, 通過觀察猜想:ba∥pq, 再通過計算加以驗證.(圖略)
解: 直線ba的斜率k1=[=\\frac', 'altimg': '', 'w': '108', 'h': '44'}],
直線pq的斜率k2=[=\\frac', 'altimg': '', 'w': '124', 'h': '44'}],
因為 k1=k2=[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h': '43'}], 所以直線ba∥pq.
例2 已知四邊形abcd的四個頂點分別為a(0,0), b(2,-1), c(4,2), d(2,3), 試判斷四邊形abcd的形狀,並給出證明.
解同上.
例3.已知a(-6,0), b(3,6), p(0,3), q(-2,6), 試判斷直線ab與pq的位置關係.
解: 直線ab的斜率[=\\frac=\\frac', 'altimg': '', 'w': '144', 'h': '44'}],
直線pq的斜率[=\\frac=\\frac', 'altimg': '', 'w': '148', 'h': '44'}],
因為 k1·k2 = -1 所以 ab⊥pq.
例4. 已知a(5,-1), b(1,1), c(2,3), 試判斷三角形abc的形狀.
分析: 通過觀察猜想: 三角形abc是直角三角形, 其中ab⊥bc, 再通過計算加以驗證.
（四）小結
1.知識小結
(1) 兩條直線平行或垂直的判定方法
(2) 注意特殊情況特殊處理，如有斜率為零或斜率不存在的情況.
(3) 應用直線平行的條件, 判定三點共線.
2. 思想方法：傾斜角、平行是幾何概念， 座標、斜率是代數概念，解析幾何的本質是用代數方法來研究幾何問題.
（五）作業
p89練習：1，2.
p90習題3.1 a組：8. b組：3，4.
36直線傾斜角和斜率
1 下列說法中錯誤的是 a 平面直角座標系內，每一條直線都有乙個確定的傾斜角 b 每一條直線的斜率都是乙個確定的值 c 沒有斜率的直線是存在的 d 同一直線的斜率與傾斜角不是一一對應的 2 已知直線l經過a a，b b a，c 且b c，則l的傾斜角為 a 0b 90 c 180 d 不能確定 3 ...
直線傾斜角與斜率
3 1 1 直線的傾斜角與斜率 一 知識導學 1 了解直線的傾斜角的概念，理解直線的斜率的概念 2 掌握過兩點的直線的斜率公式，並牢記斜率公式的形式特點及適用範圍。二 溫故知新 1 兩點a b 的中點座標為 線段ab 2 一般地，一次函式的圖象是一條直線，它是以滿足的每一對x y的值為座標的點構成的...
直線傾斜角與斜率
通化市第一中學史俊友 一 教材分析 本課是人教版數學必修2第三章第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內容的開始。直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，是平面直角座標系內以座標法 解析法 的方式來研究直線及其幾何性質 如直線位置關係 交點座標 ...