垂徑定理+圓中的角
重點題型：
【例】如圖，半徑為2的圓內有兩條互相垂直的弦ab和cd，它們的交點e到圓心o的距離等於1，則＝（ ）
a、28 b、26
c、18 d、35
1．如圖11-①，為的直徑，與相切於點與相切於點，點為延長線上一點，且
（1）求證：為的切線；
（2）連線，的延長線與的延長線交於點（如圖11-②所示）.若，求線段和的長.
練習1、如圖，rt△abc中，∠c＝900，ac＝3，bc＝4，以點c為圓心，ca為半徑的圓與ab、bc分別交於點d、e，求ad的長。
2、如圖，⊙o的半徑為10cm，g是直徑ab上一點，弦cd經過點g，cd＝16cm，ae⊥cd於e，bf⊥cd於f，求ae－bf的值。
3、如圖，ab為⊙o的直徑，點c在⊙o上，∠bac的平分線交bc於d，交⊙o於e，且ac＝6，ab＝8，求ce的長。
4. 如圖所示，圓o的直徑為10，弦ab的長為6，m是弦ab上的一動點，則線段的om的長的取值範圍是（ ）
a. 3≤om≤5b. 4≤om≤5
c. 3＜om＜5d. 4＜om＜5
5.如圖6，為半圓的直徑，平分，交半圓於點交於點，則的度數是
6．如圖，已知cd是⊙o的直徑，ac⊥cd，垂足為c，弦de∥oa，直線ae、cd相交於點b．
(1)求證：直線ab是⊙o的切線．
(2)當ac＝1，be＝2，求tan∠oac的值．
1、如圖所示，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙ｏ交bc於點d，de⊥ac。
求證：⑴點d是bc的中點；
⑵de是⊙ｏ的切線。
2、如圖，m在△abc的ac邊上，且mb = ma = mc ，ab是⊙o的直徑，
求證：bc是⊙o的切線
3、如圖，的內切圓⊙與各邊分別相切於點、、.且，，，求、、的長.
4、如圖，⊙o是△abc的內切圓，d、e、f是切點， ∠c=90°，若ac=12，bc=5，
求⊙o的半徑
5、如圖pa、pb是⊙o的切線，a、b為切點，ac是⊙o的直徑，∠bac=20°
求：∠p的度數
6、如圖pa、pb是⊙o的切線，a、b為切點，ac是⊙o的直徑。
求證：op∥bc
7、如圖，四邊形內接於⊙o，是⊙o的直徑，，垂足為，平分．
（1）求證：是⊙o的切線；
（2）若，求的長．
8、如圖，⊙o是△abc的外接圓，且ab=ac，點d在弧bc上運動，過點d作de∥bc，de交ab的延長線於點e，鏈結ad、bd．
（1）求證：∠adb=∠e；
（2）當點d運動到什麼位置時，de是⊙o的切線？請說明理由．
（3）當ab=5，bc=6時，求⊙o的半徑．
9、如圖，bd為⊙o的直徑，ab=ac，ad交bc於點e，ae=2，ed=4，
（1）求證：△abe∽△adb；
（2）求ab的長；
（3）延長db到f，使得bf=bo，連線fa，試判斷直線fa與⊙o的位置關係，並說明理由．
10、如圖，直線pm切⊙o於點m，直線po交⊙o於a、b兩點，弦ac∥pm，連線om、bc．
求證：（1）△abc∽△pom；（2）2oa2=opbc．
11、如圖，ab是⊙o的直徑，am和bn是它的兩條切線，de切⊙o於點e，交am與於點d，交bn於點c，f是cd的中點，連線of。
（1） 求證：od∥be;
(2) 猜想：of與cd有何數量關係？並說明理由。
12、已知：ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab於點g，e是直線ab上一動點（不與點a、b、g重合），直線de交⊙o於點f，直線cf交直線ab於點p.設⊙o的半徑為r.
（1）如圖1，當點e在直徑ab上時，試證明：oe·op＝r2
（2）當點e在ab（或ba）的延長線上時，以如圖2點e的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標註上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由.
13、如圖．以o為圓心的圓與△aob的邊ab相切於點c．與ob相交於點d，且od=bd，己知sina=，ac=．
（1）求⊙o的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面枳．
14、如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，cd是⊙o的切線，c為切點，ad⊥cd於點d．求證：
（1）∠aoc=2∠acd；
（2）ac2=abad．
15、如圖，ab是半徑o的直徑，ab=2．射線am、bn為半圓o的切線．在am上取一點d，連線bd交半圓於點c，連線ac．過o點作bc的垂線oe，垂足為點e，與bn相交於點f．過d點作半圓o的切線dp，切點為p，與bn相交於點q．
（1）求證：△abc∽△ofb；
（2）當△abd與△bfo的面枳相等時，求bq的長；
（3）求證：當d在am上移動時（a點除外），點q始終是線段bf的中點．
圓的有關切線證明和計算
1、如圖，已知：△abc內接於⊙o，點d在oc的延長線上，∠b＝30°，∠d＝30°，
（1）求證：ad是⊙o的切線；
（2）若ac＝6，求ad的長。
2、如圖，以△abc的直角邊ab為直徑的半圓⊙o與斜邊ac交於點d，e是bc邊的中點，連線de。
（1）求證：de與⊙o相切；
（2）若ad、ab的長是方程x2－10x＋24＝0的乙個根，求直角邊bc的長。
3、如圖，rt△abc中，∠b＝90度，c是ab上的一點，以o為圓心，ob為半徑的圓與ab交於點e，交ac於點d，其中de∥oc
（1）求證：ac為⊙o的切線；
（2）若ad＝2，且ab、ae的長是關於x的方程x2－8x＋k＝0的兩個實數根，求⊙o的半徑、cd的長。
4、如圖，ab是⊙o的直徑，ae平分∠baf，交⊙o於點e，過點e作直線de⊥af，交af的延長線於點d，交ab的延長線於點c。
（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若cb＝，ce＝，求ae的長。
5、已知，如圖，ab是⊙o的直徑，⊙o過ac的中點d，過d作de⊥bc交bc於點e。
（1）求證：de是⊙o的切線；
（2）如果cd＝4，ce＝3，求⊙o的半徑。
6、如圖，等腰△abc中，ac＝bc＝10，ab＝12，以bc為直徑作⊙o交
ab於點d，交ac於點g，df⊥ac，垂足為f，交cb的延長線於點e。
（1）求證：直線ef是⊙o的切線；
（2）求df、de的長。
7、已知如圖，直角梯形abcd中，ad∥bc，ad⊥ab，且
滿足ad＋bc＝cd，以ab為直徑作⊙o。
（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若ad＝2，bc＝6，求⊙o的半徑。
8、如圖，rt△abc中，∠acb＝90°，cd⊥ab於d，以cd為半徑作⊙c與ae切於點e，過點b作bm∥ae。
（1）求證：bm是⊙c的切線；
（2）作df⊥bc於f，若ab＝16，∠dbm＝60°，求ef的長。
9、如圖，直角梯形abcd中，∠a＝∠b＝90°，ad∥bc，e為ab上一點，de平分∠adc，ce平分∠bcd。
（1）以ab為直徑的圓與邊cd有怎麼樣的關係？
（2）該題材中以cd為直徑的圓與ab的位置關係如何，請證明你的猜想。
10、如圖，ab為⊙o的直徑，d為的中點，dc⊥ae交ae的延長線於c。
（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若ce＝1，cd＝2，求⊙o的半徑。
11、如圖△abc中，ab＝ac，點o在ab上，過點b的⊙o分別交ab、bc於點d、e，過點e作ef⊥ac於f，且ef＝bd。
（1）試判斷ac與⊙o的位置關係；
（2）若ac與⊙o相切於g，⊙o的半徑為3，cf＝1，求ag的長。
12、如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，be平分∠abc交ac於點e，點o在ab上，以o為圓心，過b、e兩點作⊙o，交ab於d，過d作df⊥ac。
（1）求證：ac是⊙o的切線；
（2）若ad＝6，ae＝6，求bc長。
13、已知直角△abc中，∠c＝90°，以ab上一點o為圓心，以oa為半徑作⊙與bc相切於d點，與ab交於f，再以d為圓心，以cd為半徑作圓交bc於e點。
（1）直線ab與⊙d有何位置關係；
（2）線段ef、af、ac之間有何數量關係。
14、如圖，鈍角△abc，cd⊥ac，be平分∠abc交ac於e，且∠ceb＝45°，以ad為直徑作⊙o。
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）若⊙o直徑為10，ac＝bc，求△abc的周長。
15、如圖，已知rt△abc中，∠c＝90°，ae平分∠bac交bc於點e，點d在ab上，de⊥ae，⊙o是rt△ade的外接圓，且交ac於g。
（1）求證：bc是⊙o的切線；
（2）若ce＝4，ac＋gc＝10，求直徑ad、de的長。
16、如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，cd是⊙o的切線，c為切點，ad⊥cd於點d．求證：
（1）∠aoc＝2∠acd；
（2）ac2＝ab·ad．
17、如圖，直線pm切⊙o於點m，直線po交⊙o於a、b兩點，弦ac∥pm，連線om、bc．
求證：（1）△abc∽△pom；（2）2oa2=opbc．
18、已知：ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab於點g，e是直線ab上一動點（不與點a、b、g重合），直線de交⊙o於點f，直線cf交直線ab於點p.設⊙o的半徑為r.
（1）如圖1，當點e在直徑ab上時，試證明：oe·op＝r2
（2）當點e在ab（或ba）的延長線上時，以如圖2點e的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標註上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由.
19、如圖．已知點a、b、c、d均在已知圓上，ad∥bc，bd平分∠abc，∠bad=120°．四邊形abcd的周長為l5．
(1)求此圓的半徑；
(2)求圖中陰影部分的面積。
20、如圖，bd為⊙o的直徑，ab=ac，ad交bc於點e，ae=2，ed=4，
（1）求證：△abe∽△adb；
（2）求ab的長；
（3）延長db到f，使得bf=bo，連線fa，試判斷直線fa與⊙o的位置關係，並說明理由．
23、如圖，ab 是⊙o 的直徑，弦de垂直平分半徑oa，c為垂足，de＝3，鏈結db，過點e作em∥bd ，交ba的延長線於點m.。
（1）求⊙o的半徑；
（2）求證：em是⊙o 的切線；
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