22.2 二次函式與一元二次方程
【知識與技能】
了解二次函式與一元二次方程之間的聯絡，掌握二次函式圖象與x軸的位置關係可由對應的一元二次方程的根的判別式進行判別，了解用圖象法確定一元二次方程的近似解的方法.
【過程與方法】
通過對實際問題情境的思考感受二次函式與對應的一元二次方程的聯絡，體會用函式的觀點看一元二次方程的思想方法.
【情感態度】
進一步增強學生的數形結合思想方法，增強學生的綜合解題能力.
【教學重點】
二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+bx+c=0之間的聯絡，利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似解.
【教學難點】
一元二次方程根的情況與二次函式圖象與x軸位置關係的聯絡.
一、情境匯入，初步認識
問題如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（m）與飛行時間t（s）之間具有關係：h=20t-5t2.
考慮以下問題：
（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要飛行多長時間？
（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要飛行多長時間？
（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什麼？
（4）球從飛出到落地要用多少時間？
【教學說明】
教師可通過教材的引例，引用其遞進式的問題鏈，讓學生在相互交流過程中，自然而然地感受到引用方程思想來解決函式問題的思想方法.教師巡視，及時釋疑解惑，並盡量予以肯定和鼓勵，激發學生的學習興趣.
二、思考**，獲取新知
通過對上述問題的思考，可以看出二次函式與一元二次方程之間存在著密切聯絡.例如，已知二次函式y=-x2+4x的值為3，求自變數x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3;反過來，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函式y=x2-4x+3的值為0，求自變數x的值.
問題1畫出函式y=x2-4x+3的圖象，根據圖象回答下列問題：
（1）圖象與x軸交點的座標是什麼？
（2）當x取何值時，y=0？這裡x的取值與方程x2-4x+3=0有什麼關係？
（3）你能從中得到什麼啟示？
問題2下列函式的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫座標是多少？當x取公共點的橫座標時，函式的值是多少？由此，你能得出相應的一元二次方程的根嗎？
（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.
問題3一般地，二次函式y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的橫座標與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什麼關係？
【教學說明】讓學生在合作交流過程中完成問題1，2，並對問題3形成乙個初步認識，達到從感性認識到理性思考的飛躍，從而認識新知.教師應巡視，對學生的交流成果給予積極評價，最後教師應在黑板上進行歸納總結.
【歸納結論】一般地，從二次函式y=ax2+bx+c的圖象可知：
（1）如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫座標為x0.那麼當x=x0時，函式的值為0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的乙個根；
（2）二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關係有三種：沒有公共點，有乙個公共點，有兩個公共點.這對應著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況：
沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不相等的實數根.因此可通過方程的根的判別式δ＜0，δ=0和δ＞0來判別拋物線與x軸的交點的個數（δ=b2-4ac，其中a、b、c為拋物線表示式中二次項係數，一次項係數和常數項）.
【試一試】1.若拋物線y=x2-mx+1與x軸沒有公共點，則m的取值範圍是
2.求證：拋物線y=x2+ax+a-2與x軸總有兩個交點.
【教學說明】讓學生分組完成兩個小題，使他們能體驗成功的喜悅，對尚有困難的學生，應給予指導.
三、運用新知，深化理解
1.畫出函式y=x2-2x-3的圖象，利用圖象回答：
（1）方程x2-2x-3=0的解是什麼？
（2）x取什麼值時，函式值大於0？
（3）x取什麼值時，函式值小於0？
2.利用函式圖象求方程x2-2x-2=0的實數解.
【教學說明】題1可讓學生自主完成，教師予以巡視，並作指導；題2的處理建議師生共同完成，這裡涉及到逼近求值思想，應作為指導.評講本題的目的是讓學生能進一步體驗函式與方程的密切聯絡，但不要求學生掌握，只要了解即可.
【答案】1.圖象如圖所示：
(1)當x1=3,x2=-1.
(2)當x<-1或x>3時函式值大於0.
（3）當-12.解：作y=x2-2x-2的圖象，它與x軸的公共點的橫座標大約是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的實數根為x1≈-0.7,x2≈2.7.
我們還可以通過不斷縮小根所在的範圍估計一元二次方程的根：
觀察函式y=x2-2x-2的圖象可以發現，當自變數為2時的函式值小於0（點（2，-2）在x軸的下方），當自變數為3時的函式值大於0（點（3，1）在x軸的上方），因為拋物線y=x2-2x-2是一條連續不斷的曲線，所以拋物線y=x2-2x-2在2＜x＜3這一段經過x軸，也就是說當自變數取2，3之間的某個值時，函式的值為0，即方程x2-2x-2=0在2，3之間有根.
我們可通過取平均數的方法不斷縮小根所在的範圍.例如，取2，3的平均數2.5，用計算器算得自變數為2.
5時的函式值為-0.75，與自變數為3時的函式值異號，所以這個根在2.5，3之間.
再取2.5，3的平均數2.75，用計算器算得自變數為2.
75時的函式值為0.0625，與自變數為2.5時的函式值異號，所以這個根在2.
5，2.75之間.
重複上述步驟，我們逐步得到：這個根在2.625，2.
75之間，在2.6875，2.75之間……可以看到：
根所在的範圍越來越小，根所在範圍的兩端的值越來越接近根的值，因而可以作為根的近似值.例如，當要求根的近似值與根的準確值的差的絕對值小於0.1時，由於｜2.
6875-2.75｜=0.0625＜0.
1，我們可以將2.6875作為根的近似值.
四、師生互動，課堂小結
1.拋物線y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0有何關聯？你能不畫出拋物線y=ax2+bx+c而了解此拋物線與x軸的交點情況嗎？你是怎樣做的？
2.你能利用拋物線來確定相應的方程的根的近似值嗎？從中你有哪些體會？
1.布置作業：教材習題22.2第1、2、3、4、6題.
2.完成創優作業中本課時練習的「課時作業」部分.
本課時教學首先通過具體情況讓學生感受用方程思想方法來解決函式問題的思路，然後通過圖象來**一元二次方程的根和二次函式與x軸交點之間的關聯.
這樣整個教學過程充分利用了學生已形成的方程、函式間的關係來模擬引導挖掘、探索二次函式與一元二次方程的關係.此外，通過觀察圖象直觀理解、解答練習以及實際觀察分析都是必經的途徑與方法，重在讓學生自主體會.
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