9. 勤學早九年級數學（上）第22章《二次函式》專題一點通（三）
——二次函式小綜合
（一）二次函式與面積
1．已知拋物線y=x2-2x+3經過點b(3，6)，與y軸交於點a(0，3)，若點m是直線ab：y=x+3下方拋物線上的一點，且s△abm=3，求點m的座標 ．
解：方法一：設m(m，m2-2m+3)，過m作mn∥y軸交直線ab於點n，則n(m，m+3)，
∴mn= m+3-(m2-2m+3)= -m2+3m ，∴s△abm =mn·|-|= (-m2+3m)×3=3，解得m1=1，m2=2，∴點m的座標為(1，2)或(2，3) ．
方法二：過點m作me∥ab交y軸於e，則s△abm = s△abe =ae·xb=3，∴ae=2，∴e(0，1)，
∴me：y=x+1，聯立得m(1，2)或(2，3)．
方法三：設m(a，b)，則a2-2a+3= b ，作me⊥y軸於e，bf⊥y軸於f．則可用
s△abm = s梯mefb - s△aem - s△abf =3列方程求解．
(二)二次函式與全等
2．如圖，拋物線y=-x2+4ax-3經過點m(2，1)，交x軸於a、b，交y軸負半軸於c，平移cm交x軸於d，交對稱軸右邊的拋物線於p，使dp=cm，求點p的座標．
解：易求y=-x2+4x-3，c(0，-3)，m(2，1)，作me⊥y軸於e，作pf⊥x軸於f，易證△pdf≌△cme，∴pf=ce=4，∴yp= -4，由-x2+4x-3= -4得xp=2+，∴p(2+，-4) ．
（三）二次函式與勾股定理
3．如圖，拋物線y= -x2+4與x軸交於a、b兩點，點q為拋物線在第二象限上的一點，且∠aqb=90°，求q點的座標．
解：設q(m，-m2 +4)，連oq，則oq=ab=2，作qm⊥x軸於m，在△oqm中有：m2+(- m2+4) 2 =4，∴m=±或m=±2，∴q(-，1) ．
（四）二次函式與等腰三角形
4．如圖，二次函式y=x2- x -2的圖象交x軸於a，b兩點，交y軸於c．點m在第一象限的拋物線上，cm交x軸於點p，且pa=pc，求點m 的座標．
解：設op=x，則pc= pa=x+1在rt△poc中，由勾股定理，得x2 +22=(x+1)2，解得x =，即op=．
∴p(，0)，∵c(0，-2) ，∴pc：y=x-2聯立得p(，) ．
（五）二次函式與平行四邊形
5．如圖，拋物線y=x2- 4x+6與x軸交於a、b，點p為頂點，在直線y=x上是否存在點d，使四邊形opbd為平行四邊形？若存在，求出點d的座標，若不存在，請說明理由．
解：方法一：假設存在，易求a(2，0)，b(6，0)，p(4，-2)，pb：
y=x-6．∵od：y=x，∴pb∥od，易求op：y=x，設bd：
y=x+n，將b(6，0)代入得n=3，
∴bd：y=x+3，解得d(2，2)．
方法二：運用座標平移更簡便．
（六）二次函式與角度
6．如圖，拋物線y= -x2+2x+3與x軸分別交於a、b兩點，與y軸的正半軸交於c點，拋物線的頂點為d，連線bc、bd，拋物線上是否存在一點p，使得∠pcb=∠cbd？若存在，求p點的座標；若不存在，說明理由．
解：(4，-5)，(，)，分兩種情況：
①作∠bcp1=∠cbd交第四象限的拋物線於p1，則cp1∥bd，∵b(3，0)，c(0，3)，d(1，4)，∴bd：y=-2x+6，則易求cp1：y=-2x+3，聯立得p1(4，-5)．
②作∠bcp2=∠cbd交第一象限的拋物線於p2，交x軸於e，設直線bd交y軸於f，易證∠obd=∠oce，∴△oce≌△obf，∵f(0，6)，∴e(6，0)，∴ce：y=x+3，聯立得p2(，)．
（七）二次函式與圖形交換
7．拋物線y=x2-x-2與x軸交於a、b兩點，與y軸交於點d，如圖，過點e(1，1)作ef⊥x軸於點f，將△aef繞平面內某點旋轉180°得△mnq(點m、n、q分別與點a、e、f對應)，使點m、n在拋物線上，求點m、n的座標．
解：易證四邊形aemn為平行四邊形，∵a(-1，0)，e(1，1)，由平移性質可設n(a，b)，則m(a+2，b+1)， ∴，∴n(1，-3)，m(3，-2)．
（八）二次函式與最值
8．如圖，拋物線y=x2-4x+3過點a(3，0)，b(1，0)，交y軸於點c，點p是該拋物線上一動點，點p從c點沿拋物線向a點運動（點p不與點a重合），過點p作pd∥y軸交直線ac於點d．
（1）求點p在運動的過程中線段pd長度的最大值；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在點m，使|ma-mc|最大？若存在，請求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
解：（1）直線ac的解析式y= -x+3，設p (x，x2-4x+3)，則d(x，-x+3)，∴ pd=-x+3-(x2-4x+3)= -x2+3x
=-(x -)2+，當x=時，線段pd長度的最大值為．
（2）拋物線的對稱軸為x=2，∴ma= mb，由三角形兩邊之差小於第三邊得，當c、b、m在同一直線上時，|ma-mc|的值最大，易知直線bc的解析式為y= -3x+3，當x=2時，y= -3×2+3=-3，∴m (2，-3) ．
（九）二次函式與根的判別式
9．如圖，已知拋物線y=x2-3x經過b(4，4)，將直線ob向下平移m個單位長度後，得到的直線與拋物線只有乙個公共點d，求m的值及點d的座標．
解：直線ob的解析為y=x，∴直線ob向下平移m個單位長度後的解析式為y=x-m，∵點d在拋物線y=x2-3x上，∴可設d (x，x2-3x)，又點d在直線y=x-m上，∴x2-3x=x-m，即x2-4x+m=0．∵拋物線與直線只有乙個公共點，∴△=16-4m=0，∴m=4，此時x1= x2=2，y= x2-3x= -2，∴d點的座標為(2，-2)．
（十）二次函式與根與係數的關係
10．已知拋物線y= -x2-2x+3與x軸交於a、b(1，0)兩點，與y軸交於點c(0，3)，將直線bc向下平移，與拋物線交於點b、c（b與b對應，c與c對應），與y軸交於點d，當點d是線段bc的三等分點時，求點d的座標．
解：bc的解析式為y= -3x+3，設直線bc的解析式為y= -3x+t，則d(0，t )，由得
x2-x+t -3=0，設b(x1，y1)，c(x2，y2)，則x1+ x2=1，x1 x2= t-3，∵點d是線段bc的三等分點，∴x2=-3x1或x1=-3x2，當x2= -3x1時，x1-3x1=1，∴x1=，x2=，∴t-3=×，∴t=；當x1=-3x2時，-3x2+ x2=1，∴x1= (不合題意，捨去)，∴d(0，)．
（十一）二次函式與一次函式公共點問題
11．（2016武漢原創題）若直線y=2x+t與函式y=的影象有且只有兩個公共點時，則t的取值範圍是________．
解：如圖，圖象與x 軸交於a(1，0)，b(-3，0)，與y軸交於c (0，-3)．①當直線y=2x+t過點a(1，0)時，t= -2，此時圖象與直線y=2x+t有3個公共點，②得：x2-4x+1-t=0，△=16-4(1-t)=0，t=-3，由得x2-3-t=0，△=0-4(-3- t)=0，t=-3，∴t= -3時，圖象與直線y=2x+t只有兩個公共點；綜上所述，t的取值範圍是t= -3或t＞-2．
12．（2016武漢原創題）將函式y=x2-2x-3影象沿y軸翻折後，與原影象合起來，構成乙個新函式的影象，若直線y=x + m與新影象有四個公共點，求m的取值範圍．
解：如圖，拋物線y=x2-2x-3沿y軸翻折後，得到的拋物線為y=x2+2x-3，①由得：x2+x-3-m=0，△=1-4(-3-m)=0，∴m=，∴當m＞時，直線與新圖象有四個公共點；②當m = -3時，直線y=x + m與新圖象只有3個公共點；綜上所述，m取值範圍是m＞時且m≠-3．
九年級數學2 2配方法 二
九年級數學2.2 配方法 二 教學目標 1 會用配方法解二次項係數不為1的一元二次方程 2 掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟 教學重點 重點 用配方法解二次項係數不為1的一元二次方程 教學難點 難點 理解配方法 教法與學法指導 1.對比法 2.自主 與合作交流相結合 3.歸納 總結法 課前準備 ...
九年級數學 上 第一章證明 二 測試卷
6 如圖，abc fed，那麼下列結論正確的是 a ec bd b ef ab c de bd d ac ed 7 等腰三角形的一邊為4，另一邊為9，則這個三角形的周長為 a 17 b 22c 13 d 17或22 8.到 abc的三個頂點距離相等的點是 abc的 a.三邊中線的交點 b.三條角平分...
九年級數學上證明二
二 三 部分訓練題一 1.如圖，a d f b在同一直線上，ad bf,ae bc,且 ae bc.求證 1 aef bcd 2 ef cd.證明 1 因為ae bc,所以 a b.又因ad bf,所以af ad df bf fd bd 又因ae bc,所以 aef bcd.2 因為 aef bcd...