虹橋二中湯雙
一、教材分析
勾股定理」這節內容主要講述了直角三角形三邊間的一種關係定理。它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有關知識的基礎之上。同時，也是初三幾何中解直角三角形及圓中有關計算的必備知識。
更重要的是，縱觀初中數學，勾股定理架起了代數和幾何間的橋梁。勾股定理是幾何中一顆美麗的奇葩，可謂家喻戶曉。它在數學理論體系中的地位舉足輕重，在日常生活、工農業生產中，應用極為廣泛。
從學生的角度來看，對勾股定理學習的好壞直接影響他們的後續數學學習。同時還能對學生進行愛國主義教育！
二、教學目標
1、知識目標
（1）能說出勾股定理的內容
（2）會初步運用勾股定理進行簡單的計算和實際運用。
（3）經歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。
2、能力目標
（1）經歷不同的驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。
（2）在探索勾股定理的過程中，讓學生體會數形結合和特殊到一般的思想方法。
3、德育目標
（1）通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進數學學習的信心，增強對數學學習的興趣。
（2）通過介紹勾股定理在中國古代的研究，激發學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想，激勵學生發奮學習。
三、教學重點和難點
教學重點：勾股定理
教學難點：通過探索得出勾股定理並掌握勾股定理。
四、教學方法： 動手演示、拼圖、歸納、猜想。
五、教學手段：多**輔助教學。
六、教學設計過程
(一) 、創設情景，匯入新課。
飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到乙個男孩頭頂正上方4千公尺處，過了20秒，飛機距離這個男孩5千公尺，飛機每小時飛行多少千公尺？
圖形簡化為
如果將男孩所在位置看做點a，某時刻男孩頭頂上方的飛機看做點b，則4表示的是哪段？（ac），飛機如何飛行？（水平），ac與飛機飛行方向組成乙個（直角），將20秒後飛機位置看做點b，那麼5表示哪段？
（ab）。現在問題其實就在求飛機的（速度），現在的條件夠求嗎？此時要解決這個問題就要先求bc段，就轉化為直角三角形的三邊關係問題，也是我們今天要一起探索的直角三角形的重要定理——勾股定理。
（二）實驗操作，探求新知
相傳2023年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客時，發現朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數量關係。
情境：研討：如圖所示，每個小方格代表乙個單位面積，根據圖形所示填表：
問題1：你能發現圖中直角三角形abc三邊有什麼關係嗎？
問題2：直角三角形都有上述性質嗎？
1.觀察圖（1），並回答問題：。
正方形a中含有＿＿＿個小方格，即a的面積是＿＿＿個單位面積；
正方形b中含有＿＿＿個小方格，即b的面積是＿＿＿個單位面積；
正方形c中含有＿＿＿個小方格，即c的面積是＿＿＿個單位面積；
(2)在圖（2）中，正方形a、b、c中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到結果的？與同伴交流。
(3)請將結果填入下表，你能發現正方形a、b、c的面積關係嗎？
師生行為：對於問題1和問題2，教師要留給學生充分的思考時間，然後讓學生交流合作，得出結論。讓學生讓算正方形a、b、c的面積，但正方形c的面積不易求出，可以讓學生在預先準備好的方格紙上畫出圖形，發現求正方形c的面積的方法。
這個活動中計算以斜邊為邊長的正方形的面積有一定難度，可以通過摺紙法、分割法等以解決。
（設計意圖：通過讓學生觀察計算，發現對於直角三角形而言，滿足兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，讓學生親歷發現、**的過程，也有利於培養學生的語言表達能力，體會數形結合的思想。）
活動3：
3）小組合作**：邊長為特殊值的直角三角形有上述性質，一般的直角三角形也有這個性質嗎？如圖（3），你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？
猜想：你能發現直角三角形三邊的長度之間存在什麼關係嗎？
推廣結論：在一般直角三角形中，以兩直角邊為邊的正方形的面積等於以斜邊為邊的正方形的面積；即在直角三角形中，兩直角邊的平方等於斜邊的平方；與字母相結合，數形結合，得出命題。
（設計意圖：進一步讓學生體會觀察、猜想、歸納這一數學結論發現的過程，也讓學生分析問題和解決問題的能力在無形中得到提高，讓學生體會到結論更具有一般性。）
（三）歸納驗證，定理命名
命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那麼，
即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
古人善於用肢體表示各種量，所以把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦。在西方人們則把這個定理稱為畢達哥拉斯定理，因為在西方這個定理最先被畢達哥拉斯證明出來。
驗證命題1
師生行為：教師先要留給學生充分的思考時間，然後讓學生以兩人為一小組，選幾組上黑板通過拼圖演示證明這個結論
證法一：我國古代數學家趙爽用四個全等的直角三角形拼成乙個中空的正方形。兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c
大正方形的面積可以表示為也可以表示為
∵ c2= 4ab +(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
∴ a2+b2=c2
用面積法所得的圖案正是2023年在北京召開的數學學大會的徽標。
證法二：畢達哥拉斯證法，是用四個全等的直角三角形的斜邊圍成乙個正方形，它們的直角邊圍成了乙個更大的正方形。
大正方形的面積可以表示為也可以表示為
∵ (a+b)2 =c2+4ab
a2+2ab+b2 =c2+2ab
a2+b2=c2
證法三：茄菲爾德證法
rtδead ≌ rtδcbe ∴∠ade = ∠bec
∵ ∠aed + ∠ade = 90
∴ ∠aed + ∠bec = 90
∴ ∠dec = 180―90= 90
∴ δdec是乙個等腰直角三角形
又∵ ∠dae = 90, ∠ebc = 90
∴ ad∥bc
∴ abcd是乙個直角梯形
s梯=（a+b）（a+b）
又∵s梯= ab+ab+c2
a+b）（a+b）= ab+ab+c2
a2+b2=c2
1、 指出勾股定理只適用於直角三角形。
2、 介紹古今中外對勾股定理的研究。
（設計意圖：了解數學常識，激發對數學的興趣，進行愛國主義的教育。）
3、 勾股定理的證明的方法還有很多，我們可以繼續在課外的時間從更多的方面了解勾股定理的證明方法。還可參見課本的課外閱讀。
4、 布置任務：下次課交流展示，看誰了解的勾股定理的證明方法多。
（四）解析、應用與拓展
試一試：1、在△abc中,∠c=90°,若ab=5，ac=3，則bc
2、在△abc中,∠c=90°，若a∶c =3∶5且c=20，則b= . 第1、2題
分析：（1）、（2）兩題開始時要列出基本式子，變形後分別得，，再計算。
解：（1）∵∴
4 （2）∵a∶c =3∶5且c=20
a=12 ∴=16
學生領悟了勾股定理的奧妙，我們回到本課開始時那道實際問題，現在你會解了嗎？
解：在直角△abc中,∠c=90°.
根據勾股定理得=3.
又∵20秒=小時 .
∴3÷=540（千公尺/時）.
答：飛機每小時飛行540千公尺.
（設計意圖：以上兩題難度值較小，可以讓大部分的學生體驗到成功的喜悅。同時體現了方程思想及利用面積法解題的思路。）
練一練：
1、在△abc中,∠c=90°, ∠a=30°,ac=,則bc= .
2、在△abc中,∠a=90°，ab=ac，bc=2，則ac= .
3、某人欲從岸邊一點a處橫渡一條河，由於水流的影響，實際上岸地點c偏離欲到達點b5m，結果他在水中實際遊了13m，則該河流的寬度為 .
4、如圖在△abc中，∠acb=90， cd⊥ab，d為垂足，ac=6cm，bc=8cm.
求 ① △abc的面積；
斜邊ab的長；
斜邊ab上的高cd的長。
（五）課堂小結
1、這節課你學到了什麼知識？
勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼 a2 + b2 = c2 。 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.
2、在運用勾股定理時應該注意什麼？
其實勾股定理在我們實際生活中有著非常廣泛的應用，下節課我們一起來**勾股定理的運用。
（結尾點題，既對本節課內容進行了總結，也為下節課內容埋下伏筆。）
六、作業設計
課本p78 第2題
第3題練習題中剩餘的題目
七、 設計說明
根據學生的知識結構，我採用的教學流程是：創設情境匯入新課—動手操作**新知—證明結論得到定理—應用知識回歸生活—總結反思—布置作業六部分，這一流程體現了知識發生、形成和發展的過程，讓學生觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想。
「勾股定理」是在學生的動手、動口、動腦中產生的，有一種「水到渠成」的效果。在這裡，學生成了學習的主體，教師只是引路者。體現學生學習的主體性、主動性原則。
在學生猜想出「勾股定理」後，又讓學生通過動手拼圖，檢驗其正確性，使學生感到自己「發現」的定理是正確的。
在對「勾股定理」的應用中，首先分析了其中的數量關係，了解應用「勾股定理」的條件和方法，然後用例題、習題加以鞏固，使學生牢固掌握。待這一切完成後，又回到引例提出的問題中，達到了「首尾呼應」的效果，並且對「勾股定理」的應用有了加深，接著再通過一系列練習加深學生對知識點的理解。
1 1探索勾股定理 1
1.1 探索勾股定理 一 合作者 康珊趙雲 教學目標 1 經歷用數格仔的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情推理意識，主動 的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯絡。2 探索並理解直角三角形的三邊之間的數量關係，進一步發展學生的說理和簡單推理的意識及能力。重點 難點 重點 了解勾股定理的由...
《探索勾股定理》教學設計
教學目標 1 知識與技能目標 掌握直角三角形三邊之間的數量關係，學會用符號表示。學生在經歷用數格仔與割補等辦法探索勾股定理的過程中，體會數形結合的思想，體驗從特殊到一般的邏輯推理過程。2 能力目標 通過分層訓練，使學生學會熟練運用勾股定理進行簡單的計算，在解決實際問題中掌握勾股定理的應用技能。3 情...
課題勾股定理 1
課題 18.1勾股定理 1 導學案 no.01 學習目標 1 經歷勾股定理的探索過程，學會用多種拼圖方法驗證勾股定理 2 能運用勾股定理由直角三角形的已知兩邊求第三邊.3 能運用勾股定理解一些簡單的實際問題.重點 勾股定理的探索和應用.難點 勾股定理的探索 一 知識回顧 如圖 abc中，若 acb ...