一、解答題
．（江蘇省泰州、南通、揚州、宿遷、淮安五市2013屆高三第三次調研測試數學試卷）某單位設計的兩種密封玻璃窗如圖所示:圖1是單層玻璃,厚度為8 mm;圖2是雙層中空玻璃,厚度均為4 mm,中間留有厚度為的空氣隔層.根據熱傳導知識,對於厚度為的均勻介質,兩側的溫度差為,單位時間內,在單位面積上通過的熱量,其中為熱傳導係數.
假定單位時間內,在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等.(注:玻璃的熱傳導係數為,空氣的熱傳導係數為.
)(1)設室內,室外溫度均分別為, ,內層玻璃外側溫度為,外層玻璃內側溫度為,且.試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量(結果用,及表示);
(2)為使雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%,應如何設計的大小?
【答案】解:(1)設單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內,在單位面積上通過的熱量分別為, ,
則,(2)由(1)知,
當4%時,解得(mm).
答:當mm時,雙層中空玻璃通過的熱量只有單層玻璃的4%
．（2012-2013學年度蘇錫常鎮四市高三教學情況調研（二）數學試題）如圖所示,有兩條道路與, ,現要鋪設三條下水管道, , (其中,分別在,上),若下水管道的總長度為,設,.
(1)求關於的函式表示式,並指出的取值範圍;
(2)已知點處有乙個汙水總管的介面,點到的距離為,到點的距離為,問下水管道能否經過汙水總管的介面點?若能,求出的值,若不能,請說明理由.
【答案】
．（江蘇省徐州市2013屆高三上學期模底考試數學試題）在乙個矩形體育館的一角man內(如圖所示),用長為a的圍欄設定乙個運動器材儲
存區域,已知b是牆角線am上的一點,c是牆角線an上的一點.
(1)若bc=a=10,求儲存區域三角形abc面積的最大值;
(2)若ab=ac=10,在折線mbcn內選一點d,使db+dc=a=20,求儲存區域四邊形dbac
面積的最大值.
【答案】(1)因為三角形的面積為倍ab·ac,所以當ab=ac時其值才最大,可求得為25
(2)求四邊形dbac面積可分為abc跟bcd兩個三角形來計算,而abc為定值可先不考慮,進而只考慮三角形bcd的面積變化,以bc為底邊,故當d點bc 的距離最長時面積取得最大值.因為db+dc=a=20總成立,所以點d的軌跡是乙個橢圓,是其兩交點,結合橢圓的知識可以知道只有當d點在bc的中垂線上時點d到bc的距離才能取得最大值,再結合題意四邊形dbac剛好是乙個邊長為10的正方形,其面積為100
．（江蘇省徐州市2013屆高三考前模擬數學試題）某人年底花萬元買了一套住房,其中首付萬元,萬元採用商業貸款.貸款的月利率為‰,按複利計算,每月等額還貸一次,年還清,並從貸款後的次月開始還貸.
⑴這個人每月應還貸多少元?
⑵為了抑制高房價,國家出台「國五條」,要求賣房時按照差額的20%繳稅.如果這個人現在將住房萬元賣出,並且差額稅由賣房人承擔,問:賣房人將獲利約多少元? (參考資料:)
【答案】⑴設每月應還貸元,共付款次,則有
, 所以(元)
答:每月應還貸元
⑵賣房人共付給銀行元,
利息(元),
繳納差額稅(元),
(元).
答:賣房人將獲利約元
．（江蘇省無錫市2013屆高三上學期期末考試數學試卷）要製作乙個如圖的框架(單位:公尺),要求所圍成的總面積為19.5(公尺2),其中abcd是乙個矩形,efcd是乙個等腰梯形,梯形高h=ab, tan ∠fed=,設ab=x公尺,bc=y公尺.
(ⅰ)求y關於x的表示式;
(ⅱ)如何設計x,y的長度,才能使所用材料最少?
【答案】
．（徐州、宿遷市2013屆高三年級第三次模擬考試數學試卷）已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料,o為半圓的圓心, ,殘缺部分位於過點的豎直線的右側.現要在這塊材料上截出乙個直角三角形,有兩種設計方案:如圖甲,以為斜邊;如圖乙,直角頂點**段上,且另乙個頂點在上.
要使截出的直角三角形的面積最大,應該選擇哪一種方案?請說明理由,並求出截得直角三角形面積的最大值.
【答案】如圖甲,設,
則, ,
所以, 當且僅當時取等號,
此時點到的距離為,可以保證點在半圓形材料內部,因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為
如圖乙,設,則, ,
所以,設,則,
當時, ,所以時,即點與點重合時,
的面積最大值為
因為,所以選擇圖乙的方案,截得的直角三角形面積最大,最大值為
．（江蘇省鹽城市2013屆高三年級第二次模擬考試數學試卷）如圖,在海岸線一側c處有乙個美麗的小島,某旅遊公司為方便遊客,在上設立了a、b兩個報名點,滿足a、b、c中任意兩點間的距離為10千公尺.公司擬按以下思路運作:先將a、b兩處遊客分別乘車集中到ab之間的中轉點d處(點d異於a、b兩點),然後乘同一艘遊輪前往c島.
據統計,每批遊客a處需發車2輛,b處需發車4輛,每輛汽車每千公尺耗費2元,遊輪每千公尺耗費12元.設∠,每批遊客從各自報名點到c島所需運輸成本s元.
⑴寫出s關於的函式表示式,並指出的取值範圍;
⑵問中轉點d距離a處多遠時,s最小?
【答案】解: (1)由題在中,.
由正弦定理知,得
(2),令,得
當時,;當時, ,當時取得最小值
此時,中轉站距處千公尺時,運輸成本最小
．（江蘇省泰州市2012-2013學年度第一學期期末考試高三數學試題）如圖,乙個半圓和長方形組成的鐵皮,長方形的邊ad為半圓的直徑,o為半圓的圓心, ,現要將此鐵皮剪出乙個等腰三角形,其底邊.
(1)裝置,求三角形鐵皮的面積;
(2)求剪下的鐵皮三角形面積的最大值.
【答案】(1)設mn交ad交於q點
∵∠mqd=30°,∴mq=,oq= (算出乙個得2分)
s△pmn=mn·aq=××(1+)=
(2)設∠moq=θ,∴θ∈[0,],mq=sinθ,oq=cosθ
∴s△pmn=mn·aq= (1+sinθ)(1+cosθ)
= (1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)
令sinθ+cosθ=t∈[1,],∴s△pmn= (t+1+)
θ=,當t=,∴s△pmn的最大值為
．（南通市2013屆高三第一次調研測試數學試卷）某公司為一家製冷裝置廠設計生產一種長方形薄板,其周長為4公尺,這種薄板須沿其對角線摺疊後使用.如圖所示,為長方形薄板,沿ac摺疊後,交dc於點p.當△adp的面積最大時最節能,凹多邊形的面積最大時製冷效果最好.
(1)設ab=x公尺,用x表示圖中dp的長度,並寫出x的取值範圍;
(2)若要求最節能,應怎樣設計薄板的長和寬?
(3)若要求製冷效果最好,應怎樣設計薄板的長和寬?
【答案】解:(1)由題意, ,.因,故
設,則.
因△≌△,故.
由 ,得 ,
(2)記△的面積為,則
,當且僅當∈(1,2)時,s1取得最大值
故當薄板長為公尺,寬為公尺時,節能效果最好
(3)記△的面積為,則
, 於是,
關於的函式在上遞增,在上遞減.
所以當時,取得最大值
故當薄板長為公尺,寬為公尺時,製冷效果最好
本題主要考查應用所學數學知識分析問題與解決問題的能力.試題以常見的圖形為載體,再現對基本不等式、導數等的考查.講評時,應注意強調解決應用問題的一般步驟與思維規律,教學中應幫助學生克服解決應用題時的畏懼心理,在學生獨立解決應用問題的過程中不斷增強他們的自信心.
在使用基本不等式應注意驗證取等號的條件,使用導數時應謹慎決斷最值的取值情況.
．（2023年江蘇理）如圖,建立平面直角座標系,軸在地平面上,軸垂直於地平面,單位長度為1千公尺.某炮位於座標原點.已知炮彈發射後的軌跡在方程表示的曲線上,其中與發射方向有關.
炮的射程是指炮彈落地點的橫座標.
(1)求炮的最大射程;
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千公尺,試問它的橫座標不超過多少時,
炮彈可以擊中它?請說明理由.
【答案】解:(1)在中,令,得.
由實際意義和題設條件知.
∴,當且僅當時取等號.
∴炮的最大射程是10千公尺.
(2)∵,∴炮彈可以擊中目標等價於存在,使成立,
即關於的方程有正根.
由得.此時,(不考慮另一根).
∴當不超過6千公尺時,炮彈可以擊中目標.
．（南京市、淮安市2013屆高三第二次模擬考試數學試卷）如圖,某廣場中間有一塊扇形綠地oab,其中o為扇形所在圓的圓心, ,廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路:在上選一點c,過c修建與ob平行的小路cd,與oa平行的小路ce,問c應選在何處,才能使得修建的道路cd與ce的總長最大,並說明理由.
【答案】
．（江蘇省蘇錫常鎮四市2013屆高三教學情況調研(一)數學試題）某部門要設計一種如圖所示的燈架,用來安裝球心為,半徑為(公尺)的球形燈泡.該燈架由燈託、燈桿、燈腳三個部件組成,其中圓弧形燈託, , ,所在圓的圓心都是、半徑都是(公尺)、圓弧的圓心角都是(弧度);燈桿垂直於地面,桿頂到地面的距離為(公尺),且;燈腳, , ,是正四稜錐的四條側稜,正方形的外接圓半徑為(公尺),四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為(弧度).已知燈桿、燈腳的造價都是每公尺(元),燈託造價是每公尺(元),其中, ,都為常數.
設該燈架的總造價為(元) .
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選修1 2第4章框圖 4.1 2流程圖 結構圖 重難點 了解工序流程圖 即統籌圖 和結構圖 能繪製簡單實際問題的流程圖，了解流程圖在解決實際問題中的作用 會運用結構圖梳理已學過的知識 整理收集到的資料資訊 考綱要求 了解程式框圖 了解工序流程圖 即統籌圖 和結構圖 能繪製簡單實際問題的流程圖，了解流...