數學（理科）
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答題卡前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關資訊填寫在答題卡指定區域內。
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑；如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案；不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液.不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔。
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.
1．已知集合，則
a. b. c. d.
2．尤拉（leonhard euler,國籍瑞士）是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他發明的公式（為虛數單位），將指數函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，這個公式在復變函式理論中占有非常重要的地位，被譽為「數學中的天橋」.根據此公式可知，表示的複數在復平面內位於
a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d.第四象限
3．下列命題中，正確的是
a.b.且，
c. 已知為實數，則是的充分條件
d. 已知為實數，則的充要條件是
4．已知圓（o為座標原點）經過橢圓的短軸端點和兩個焦點，則橢圓的標準方程為
a. b.
c. d.
5．已知等差數列滿足，則等於
a. b. c. d.
6．某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
a. b. c. d.
7．已知函式的最大值為，最小值
為，則等於
a. 0 b. 2 c. 4 d. 8
8．如圖所示的程式框圖的演算法思路**於我國古代數學名
著《九章算術》中的「更相減損術」，執行該程式框圖，
若輸入的值分別為，則輸出的值為
a. b. c. d.
9．已知函式在點處的切線為，
若與二次函式的圖象也相
切，則實數的取值範圍為
a. b. c. d.
10．已知的三個頂點座標為
為座標原點，動點m滿足，則
的最大值是
a. b. c. d.
11．已知雙曲線的左、右焦點分別
為為座標原點，點p是雙曲線在第一象限內的點，直
線分別交雙曲線c的左、右支於另一點m,n，若，且，則雙曲線的離心率為
a. b. c. d.
12．定義在r上的函式，當時，，且對任意實數，都有.若有且僅有三個零點，則的取值範圍是
a. b. c. d.
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個考生都必須作答。第22～23題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知實數滿足條件，若目標函式的最小值為3，則其最大值為
14．設二項式展開式中的常數項為，則的值為
15．已知a,b,c是球o的球面上三點，且為該球面上的動點，球心o到平面abc的距離為球半徑的一半，則三稜錐體積的最大值為
16．已知函式，且設函式，若，則數列的前項和 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17．（本題滿分12分）
已知向量，函式
（1）求函式的單調遞減區間；
（2）在銳角中，內角a,b,c的對邊分別為，對任意滿足條件的a,求的取值範圍.
18．（本題滿分12分）
某品牌汽車的4s店，對最近100份分期付款購車情況進行統計，統計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4,；該店經銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元.
（1）若以上表計算出的頻率近似替代概率，從該店採用分期付款購車的顧客（數量較大）中隨機抽取3為顧客，求事件a:「至多有1位採用分6期付款」的概率
（2）按分層抽樣的方式從這100為顧客中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變數，求的分布列和數學期望.
19．（本題滿分12分）
如圖所示，已知長方體中，
為的中點.將
沿折起，使得
（1）求證：平面平面；
（2）是否存在滿足的點，
使得二面角為大小為，？若存在，求出相應的實數；若不存在，請說明理由.
20.（本題滿分12分）
設拋物線的頂點在座標原點，焦點f在軸上，過點f的直線交拋物線於a,b兩點，線段ab的長度為8，ab的中點到軸的距離為3.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）設直線在軸上的截距為6，且與拋物線交於p,q兩點，鏈結qf並延長交拋物線的準線於點r,當直線pr恰與拋物線相切時，求直線的方程.
21.（本題滿分12分）
已知函式
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）若時，均有成立，求實數的取值範圍.
請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果兩題都做，則按照所做的第一題給分；作答時，請用2b鉛筆將答題卡上相應的題號塗黑。
22.（本題滿分10分）選修4-4：引數方程與極座標系
在平面直角座標系中，曲線的引數方程為（為引數），以座標原點o為極點，軸的正半軸為極軸，與直角座標系取相同的單位長度建立極座標系，曲線的極座標方程為
（1）化曲線，的方程為普通方程，並說明它們分別表示什麼曲線；
（2）設曲線與軸的乙個交點的座標為，經過點p作斜率為1的直線，交曲線於a,b兩點，求線段ab的長.
23.（本題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函式的最小值為
（1）求的值；
（2）若是正實數，且，求證：
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