理科數學
注意事項：
1．本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自
己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上，並用鉛筆在答題卡上的相應
位置填塗考生號。
2．回答第ⅰ卷時，選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，
如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
第ⅰ卷一、選擇題：本小題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合
題目要求的。
（1）複數的共軛複數是
（abc） （d）
（2）若集合，，則
（a） （b） （c） （d）
（3）已知等比數列的各項都為正數, 且成等差數列,
則的值是
（ab）
（cd）
（4）閱讀如圖的程式框圖. 若輸入, 則輸出的值為
（abcd）
（5）已知雙曲線的一條漸近線方程為, ,分別
是雙曲線的左，右焦點, 點在雙曲線上, 且, 則等於
（abc）或 （d）或
（6）如圖, 網格紙上小正方形的邊長為1, 粗線畫出的是
某幾何體的正檢視（等腰直角三角形）和側檢視,
且該幾何體的體積為, 則該幾何體的俯檢視可以是
（7）五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻**己的硬幣. 若硬幣正面朝上, 則這個人站起來; 若硬幣正面朝下, 則這個人繼續坐著. 那麼, 沒有相鄰的兩個人站起來的概率為
（abcd）
（8）已知,分別是橢圓的左, 右焦點, 橢圓上存在點
使為鈍角, 則橢圓的離心率的取值範圍是
（a） （bcd）
（9）已知成立,函式是減函式, 則是的
（a）充分不必要條件b）必要不充分條件
（c）充要條件d）既不充分也不必要條件
（10）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側稜與底面垂直的四稜錐稱之為陽馬;將四
個面都為直角三角形的三稜錐稱之為鱉臑．若三稜錐為鱉臑,⊥平面,
，, 三稜錐的四個頂點都在球的球面上, 則球的表
面積為（abcd）
（11）若直線與函式的圖象相交於點，，
且，則線段與函式的圖象所圍成的圖形面積是
（a） （b） （c） （d）
（12）已知函式, 則的值為
（abcd）
第ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個考生都必須作答。第22～23題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本小題共4題，每小題5分。
（13）已知，且，則向量與向量的夾角是
（14）的展開式中各項係數和為，則的係數為 .（用數字填寫答案）
（15）已知函式若, 則實數的取值範圍是 .
（16）設為數列的前項和, 已知, 對任意n, 都有，
則n)的最小值為
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
如圖, 在△中, 點在邊上,.
(ⅰ) 求;
(ⅱ) 若△的面積是, 求.
（18）（本小題滿分12分）
近年來，我國電子商務蓬勃發展. 2023年「618」期間，某網購平台的銷售業績高達516
億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平台的商品和服務的評價系統.
從該評價系統中選出200次成功交易，並對其評價進行統計，網購者對商品的滿意率為
0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的交易為80次.
(ⅰ) 根據已知條件完成下面的列聯表，並回答能否有99%的把握認為「網購者對
商品滿意與對服務滿意之間有關係」？
(ⅱ) 若將頻率視為概率，某人在該網購平台上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿
意的次數為隨機變數，求的分布列和數學期望.
附： （其中為樣本容量）
（19）（本小題滿分12分）
如圖1，在直角梯形中點是邊的
中點, 將△沿折起，使平面⊥平面，連線, , , 得到如
圖2所示的幾何體.
(ⅰ) 求證：⊥平面；
(ⅱ) 若，二面角的平面角的正切值為，求二面角
的余弦值.
圖1圖2
（20）（本小題滿分12分）
過點作拋物線的兩條切線, 切點分別為,.
(ⅰ) 證明:為定值;
(ⅱ) 記△的外接圓的圓心為點, 點是拋物線的焦點, 對任意實數, 試
判斷以為直徑的圓是否恆過點? 並說明理由.
（21）（本小題滿分12分）
已知函式.
(ⅰ) 若函式有零點, 求實數的取值範圍;
(ⅱ) 證明:當，時,.
請考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
（22）（本小題滿分10分）選修4－4：座標系與引數方程
在直角座標系中，直線的引數方程為為引數. 在以座標原點為極點,
軸正半軸為極軸的極座標系中, 曲線
(ⅰ) 求直線的普通方程和曲線的直角座標方程;
(ⅱ) 求曲線上的點到直線的距離的最大值.
（23）（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
已知函式.
(ⅰ) 若，求實數的取值範圍;
(ⅱ) 若r , 求證：.
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