2023年三明市普通高中畢業班質量檢查
理科數學
本試卷分第i卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）， 第ⅱ卷第21題為選考題，其他題為必考題．本試卷共6頁．滿分150分．考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡上．
2．考生作答時，將答案答在答題卡上，請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效．
3．選擇題答案使用2b鉛筆填塗，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號；非選擇題答案使用0.5公釐的黑色中性（籤）筆或碳素筆書寫，字型工整、筆記清楚．
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，並用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑．
5．保持答題卡卡面清潔，不摺疊、不破損，考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
參考公式：
樣本資料，…，的標準差錐體體積公式
其中為樣本平均數其中為底面面積，為高
柱體體積公式球的表面積、體積公式
其中為底面面積，為高其中為球的半徑
第i卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．命題「」的否定是
a. b. c. d.
2．已知複數（其中為虛數單位），則複數的共軛複數是
a． b． cd．
3．設等比數列的前項和為，若，，則等於
a．16b. 31c. 32d.63
4．閱讀右邊程式框圖，下列說法正確的是
a．該框圖只含有順序結構、條件結構
b．該框圖只含有順序結構、迴圈結構
c．該框圖只含有條件結構、迴圈結構
d．該框圖包含順序結構、條件結構、迴圈結構
5．函式的最小正週期是
ab． c． d．
6．某四稜錐的三檢視如圖所示，則該四稜錐的體積是
a． b．
c． d．
7．已知函式，則是
a．非奇非偶函式，且在(0，＋∞)上單調遞增
b．奇函式，且在上單調遞增
c．非奇非偶函式，且在(0，＋∞)上單調遞減
d．偶函式，且在上單調遞減
8．在中，「」是「」的
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
9．過雙曲線，的左焦點作圓:的兩條切線，
切點為，，雙曲線左頂點為，若,則雙曲線的漸近線方程為
a． b． c． d．
10．對於函式，若，則稱為函式的「不動點」；若，則稱為函式的「穩定點」.如果函式的「穩定點」恰是它的「不動點」，那麼實數的取值範圍是
a． b． c． d．
第ⅱ卷（非選擇題共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡相應位置．
11．已知隨機變數，若，則 ．
12．若拋物線上一點到焦點的距離為4，則點的橫座標為 ．
13．在二項式(x－)6的展開式中, 常數項是＿＿＿．
14．由直線，，曲線及軸所圍成的圖形的面積是＿＿＿．
15．已知函式，（，
.若,且函式的影象關於點對稱，並在處取得最小值，則正實數的值構成的集合是
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分13分)
如圖，在幾何體中，平面，，是等腰直角三角形，，且，點是的中點．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求與平面所成角的正弦值．
17．(本小題滿分13分)
今年我國部分省市出現了人感染h7n9禽流感確診病例，各地家禽市場受其影響生意冷清．a市雖未發現h7n9疑似病例，但經抽樣有20%的市民表示還會購買本地家禽．現將頻率視為概率，解決下列問題：
（ⅰ）從該市市民中隨機抽取3位，求至少有一位市民還會購買本地家禽的概率；
（ⅱ）從該市市民中隨機抽取位，若連續抽取到兩位願意購買本地家禽的市民，或
抽取的人數達到4位，則停止抽取，求的分布列及數學期望．
18．(本小題滿分13分)
已知橢圓的離心率為，且橢圓的右焦點與拋物
線的焦點重合．
（ⅰ）求橢圓的標準方程；
（ⅱ）如圖，設直線與橢圓交於兩點（其中點在第一象限），且直線與定直線交於點，過作直線交軸於點，試判斷直線與橢圓的公共點個數．
19．(本小題滿分13分)
某企業有兩個生產車間，分別位於邊長是的等邊三角形的頂點處（如圖），現要在邊上的點建一倉庫，某工人每天用叉車將生產原料從倉庫運往車間，同時將成品運回倉庫．已知叉車每天要往返車間5次，往返車間20次，設叉車每天往返的總路程為.（注：往返一次即先從倉庫到車間再由車間返回倉庫）
(ⅰ）按下列要求確定函式關係式：
設長為，將表示成的函式關係式；
設，將表示成的函式關係式.
(ⅱ）請你選用(ⅰ）中乙個合適的函式關係式，求總路程的最小值，並指出點的位置．
20．(本小題滿分14分)
已知函式．
(ⅰ）求函式的單調遞增區間；
(ⅱ）當時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在兩點處的切線均與直線交於同一點？若存在，求出交點縱座標的取值範圍；若不存在，請說明理由；
(ⅲ）若在區間存在最大值，試構造乙個函式，使得同時滿足以下三個條件：①定義域，且；②當時，；③在中使取得最大值時的值，從小到大組成等差數列．（只要寫出函式即可）
21．本題設有（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2個小題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，先用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號塗黑，並將所選題號填入括號中.
（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換
已知矩陣，繞原點逆時針旋轉的變換所對應的矩陣為．
（ⅰ）求矩陣；
（ⅱ）若曲線：在矩陣對應變換作用下得到曲線，求曲線的方程．
（2）（本小題滿分7分）選修4—4：座標系與引數方程
在平面直角座標系中，以座標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極座標系．已知曲線的極座標方程為，直線的引數方程為為引數，）．
（ⅰ）化曲線的極座標方程為直角座標方程；
（ⅱ）若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長．
（3）（本小題滿分7分）選修4—5：不等式選講
已知函式．
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）若恒成立，求實數的取值範圍.
2023年三明市普通高中畢業班質量檢查
理科數學參***及評分標準
一、選擇題
1．c 2．a 3．b 4．b 5．b
6．c 7．a 8．c． 9．a
二．填空題：
11．0.2； 12．3； 13．15； 14．； 15．．
三、解答題：
16．解法一：（ⅰ）取的中點，鏈結，
則，且，……………2分
又，∴且，
所以四邊形是平行四邊形，
則5分又因為平面，平面，
所以平面6分
（ⅱ）依題得，以點為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角座標系，
則，，，，，，
所以，．
設平面的乙個法向量為，
則即，取，得10分
又設與平面所成的角為，，
則故與平面所成角的正弦值為13分
解法二：（ⅰ）取的中點，鏈結，
則，又因為平面，平面，
平面，平面，
所以平面，平面，
又，所以平面平面，
平面，∴平面．……………6分
（ⅱ）同解法一13分
17．解：（ⅰ）依題意可得，任意抽取一位市民會購買本地家禽的概率為，
從而任意抽取一位市民不會購買本地家禽的概率為．
設「至少有一位市民會購買本地家禽」為事件，則，
故至少有一位市民會購買本地家禽的概率6分
（ⅱ）的所有可能取值為：2，3，4．
，，，所以的分布列為：
13分18．解：（ⅰ）設，易知，又，得，於是有．
故橢圓的標準方程為． ……………4分
（ⅱ）聯立得，
的座標為．故．
依題意可得點的座標為．設的座標為，
故．因為，所以，解得，
於是直線的斜率為8分
從而得直線的方程為：，代入，
得，即，知，
故直線與橢圓有且僅有乙個公共點13分
19．解：(ⅰ）①在中，，，，
由餘弦定理，，
所以．………………3分
②在中，，，，
.由正弦定理，，
得，，則． …………6分
(ⅱ）選用(ⅰ）中的的函式關係式，，
，由得，，記，
則當時，，；當時，，；
所以當，時，總路程最小值為，
此時，，
答：當時，總路程最小,最小值為13分
20．解：（ⅰ）依題可得，
當時，恆成立，函式在上單調遞增；
當時，由，解得或，
單調遞增區間為和4分
（ⅱ）設切線與直線的公共點為，當時，，
則，因此以點為切點的切線方程為．
因為點在切線上，所以，即．
同理可得方程6分
設，則原問題等價於函式至少有兩個不同的零點.
因為，當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減．
因此，在處取極大值，在處取極小值．
若要滿足至少有兩個不同的零點，則需滿足解得．
故存在，且交點縱座標的取值範圍為10分
(ⅲ）由(ⅰ）知，，即11分
本題答案不唯一，以下幾個答案供參考：
①，其中；
②其中；
③其中． ………………14分
21．（1）（本小題滿分7分）選修4—2：矩陣與變換
解：（ⅰ）由已知得，矩陣3分
（ⅱ）矩陣，它所對應的變換為解得
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