第四章一次函式
２．一次函式
教學目標：
(1)理解一次函式和正比例函式的概念；
(2)能根據所給條件寫出簡單的一次函式表示式.
(3)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力；
(4)經歷從實際問題中得到函式關係式這一過程，發展學生的數學應用能力.
(5)體驗生活中的數學的應用價值，感受數學與人類生活的密切聯絡，激發學生學數學、用數學的興趣.
(6)在探索過程中體驗成功的喜悅，樹立學習的自信心.
本節課教學重點是：
理解一次函式和正比例函式的概念.
教學難點：
能根據所給條件寫出簡單的一次函式表示式,發展學生的抽象思維能力.
教學過程設計
本節課設計了七個環節: 第一環節:複習引入；第二環節：
新課講述；第三環節：鞏固練習；第四環節：知識提高；第五環節：
反饋練習；第六環節：課堂小結；第七環節：布置作業.
第一環節：複習引入
內容：複習上節課學習的函式,教師提出問題:
(1) 什麼是函式?
(2) 函式有哪些表示方式?
(3) 在現實生活中有許多問題都可以歸結為函式問題,大家能不能舉一些例子呢?
意圖：為了激發學生的求知慾望,吸引同學們的注意力,這裡採用了「複習舊知識,誘導新內容」的引入方法.問題(1)(2)複習上節課的內容,問題(3)是讓學生把所學知識運用於實際生活,提高學生的運用意識.
效果：問題(1)(2)學生都能快而準的回答,問題(3)是在乙個開放的環境中回答,學生不能很準確的表述出來,可讓學生互相補充,也可教師進行補充、完善.通過學生親身經歷了感受函式在生活中的運用過程,初步形成數學建模的思想,感受成功的喜悅,充分體現了本節課的情感、態度目標.
若課堂氣氛比較沉悶,也可由教師先舉例,讓學生來列函式表示式,激發學生的學習激情,再讓學生舉例:(如可補充如下習題)
①假設某學生騎自行車的速度為10km/h,則他騎自行車用的時間t(h)和所走過的路程s之間的關係是什麼?
②上網費用是2元/小時,則上網t(小時),費用y(元)的關係式是什麼?
第二環節：新課講述
內容：例1 某彈簧的自然長度為3cm,在彈簧限度內,所掛物體的質量x每增加1kg,彈簧長度y增加0.5cm.
(1)計算所掛物體的質量分別為1kg、2kg、3kg、4kg、5kg時的彈簧長度,並填入下表:
(2)你能寫出x與y之間的關係式嗎?
答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2).
例2 某輛汽車油箱有汽油100l,汽車每行駛50km耗油9l.
(1)完成下表:
(2)你能寫出x與y之間的關係式嗎?
(3)汽車行駛的路程x可以無限增大嗎?有沒有乙個取值範圍?剩餘油量y呢?
答案 (1) 100、91、82、73、64、46；
(2) x與y之間的關係式為；
(3) 汽車行駛路程x不可能無限增大,因為汽油只有100l,每行駛50km耗油9l,行駛560km後,油箱就沒有油了,所以x不會超過代表油箱剩餘油量,所以y應該小於100但不能小於零.
通過觀察、探索、總結,歸納出一次函式與正比例函式的概念:
一般地,若兩個變數x,y間的關係式可以表示成(為常數,≠0)的形式,則稱是的一次函式(是自變數,為因變數).特別地,當時,則是的正比例函式.
意圖：從生動有趣的問題情景(彈簧的長度、汽車油箱中的餘油量)出發,通過對一般規律的探索過程,從實際問題中抽象出一次函式和正比例函式的概念.
效果：從兩個具體問題的函式表示式出發，互相討論,教師在教學上恰當地設疑立障,引導學生大膽猜想,勇於探索,鼓勵學生積極思維,總結出一次函式的定義，提高學生的分析問題、解決問題、總結歸納的能力.
主要從函式解析式這一角度去研究一次函式，這是學生第一次正式接觸函式的表示式，教學中可根據學生狀況多加一些例子，讓學生逐步學會從函式表示式去認識函式，進一步掌握一次函式的定義.
第三環節：鞏固練習
內容:1.在函式(1),(2),(3),(4),
(5) (6)中是一次函式的是是正比例函式的是
2.若函式是一次函式,則應滿足的條件是若是正比例函式,則應滿足的條件是
3.當時,函式是關於的一次函式.
意圖：對本節知識進行鞏固練習.
效果：學生基本能交好的獨立完成練習題,收到了較好的教學效果.
在第3題中,學生易忘記≠的條件,而錯誤的將答案寫成±.
第四環節：知識提高
內容：例3 寫出下列各題中與之間的關係式,並判斷:是否為的一次函式?是否為正比例函式?
(1)汽車以60千公尺/時的速度勻速行駛,行駛路程(千公尺)與行駛時間(時)之間的關係；
(2)圓的面積(厘公尺2)與它的半徑(厘公尺)之間的關係；
(3)一棵樹現在高50厘公尺,每個月長高2厘公尺,個月後這棵樹的高度為(厘公尺),則與的關係.
答案: (1)由路程=速度×時間,得,是的一次函式,也是的正比例函式；
(2)由圓的面積公式,得,不是的一次函式,也不是的正比例函式；
(3)這棵樹每月長高2厘公尺,個月長高了厘公尺,因而,是的一次函式,但不是的正比例函式.
例4 某地區**的月租費為25元,在此基礎上,可免費打50次市話(每次3分鐘),超過50次後,每次0.2元.
(1)寫出每月**費(元)與通話次數(＞50)的函式關係式；
(2)求出月通話150次的**費；
(3)如果某月通話費為53.6元,求該月通話的次數.
分析:解決此類問題首先要理解題意,然後找出相等關係.此題相等關係為:每月通話費=月租費+超過50次後**費.
答案: (1)根據題意得:×,即；
(2)當時,×；
(3)因為＞,可知通話次數大於50次,即當時,求的值.,解得.
意圖：通過豐富的現實背景的例題,進一步理解一次函式和正比例函式的概念,根據所給的條件寫出簡單的一次函式的表示式,讓學生體會數學的廣泛應用,發展學生的抽象思維能力.
充分加強數學與現實的聯絡,促進學生新的認知結構的建立和數學應用能力的發展.
效果：根據已知條件寫出簡單的一次函式的表示式,教學時,學生會出現一定的差異,此時,要給予學生足夠的思考時間,必要的時候可組織學生交流討論,而不能是簡單的「告訴」.另外,在教學上還必須注意培養學生的書面表達能力,這些都是邏輯思維訓練的一部分.
在例4中的(1)中,易錯解為.應讓學生仔細審題,找準等量關係；(2)、(3)兩問是給定自變數的值,求函式數值，這類問題的實質就是解方程.
第五環節：反饋練習
內容:1.下列語句中,具有正比例函式關係的是( )
(a) 長方形花壇的面積不變,長與寬之間的關係；
(b) 正方形的周長不變,邊長與面積之間的關係；
(c) 三角形的一條邊不變,這條邊上的高與面積之間的關係；
(d) 圓的面積為,半徑為,與之間的關係.
2．我國現行個人工資、薪金所得稅徵收辦法規定：月收入低於1600元的部分不收稅；月收入超過1600元但低於2100元的部分徵收5%的所得稅……如果某人月收入1960元.他應繳納個人工資、薪金所得稅為（）×%=（元）.
（1）當月收入大於1600元而又小於2100元時，寫出應繳納所得稅（元）與月收入
（元）之間的關係式.
（2）某人月收入為1760元，他應該繳納所得稅多少元？
（3）如果某人本月繳所得稅元，那麼此人本月工資、薪金是多少以元？
意圖：對本節知識進行鞏固練習.
效果：學生基本能較好地獨立完成練習題,收到了較好的教學效果.
在第2題,學生容易遺忘幾何的相關內容,在此教師可作適當的提醒,讓學生更順利地完成習題.
第六環節: 課堂小結
內容:這節課我們學習了一類很有用的函式—— 一次函式，只要解析式可以表示成（為常數，≠0）的形式的函式則稱為一次函式.正比例函式是一次函式當時的特殊情形.（方式：師生互相交流總結.）
目的：鼓勵學生結合本節課的學習內容,談談自己的收穫和感想,進一步鞏固本節課的知識.
實際效果：學生暢所欲言自己對本節課的感受與收穫,都能準確的說出一次函式與正比例函式的概念.但學生容易忽略一次函式與實際生活的聯絡,教師應做適當補充.
第七環節：布置作業
1．根據下表寫出之間的乙個關係式.
2. 某電信公司手機的a類收費標準如下：不管通話時間多長，每部手機每月必須繳月租費50元，另外，每通話1分鐘交費0.4元.
（1）寫出每月應繳費用（元）與通話時間（分）之間的關係式；
（2）某手機使用者這個月通話時間為152分，他應繳費多少元？
（3）如果該手機使用者本月預交了200元的話費，那麼該使用者本月可通話多長時間？
3．某電信公司手機的b類收費標準如下：沒有月租費，但每通話1分鐘收費元.按照此類收費標準，分別完成第2題中的各小題.
4．根據上面第2，3題中的條件，完成下列各題：
（1）若每月平均通話時間為300分，你選擇哪類收費方式？
（2）每月通話多長時間時，按a，b兩類收費標準繳費，所交話費相等？
教學設計反思
1．本課時在初中數學學習中的重要性
函式是初中階段數學學習的乙個重要內容，學生又是第一次接觸函式，充分考慮學生的接受能力，本節從生動有趣的問題情景出發，通過對一般規律的探索過程，從實際問題中抽象出一次函式和正比例函式的概念.又通過具有豐富的現實背景的例題，進一步理解一次函式和正比例函式的概念，為下一步學習《一次函式圖象》奠定基礎，並形成用函式觀點認識現實世界的能力與意識.
2．怎樣對學生進行引導
本節課的教學物件是初二學生,他們的參與意識較強,思維活躍,對研究常量的計算問題已掌握了一定的方法,但對函式、變數的變化規律的學習剛剛開始,抽象概括概念的能力尚顯不足,為此，我力求以下三個方面對學生進行引導:
(1)從創設問題情景入手,通過知識再現,孕育教學過程；
(2)從學生活動出發,通過以舊引新,順勢教學過程；
(3)借助探索,通過思維深入,領悟教學過程.
3．注意改進的方面
在討論之前，應該留給學生充分的獨立思考的時間，不要讓一些思維活躍的學生的回答代替了其他學生的思考，掩蓋了其他學生的疑問。教師應對小組討論給予適當的指導，包括知識的啟發引導、學生交流合作中注意的問題及對困難學生的幫助等，使小組合作學習更具實效性。
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