2014屆第一學期金山中學高三期中考試試卷
理科數學
一、選擇題（每題5分，共40分）
1、命題「，≥恆成立」的否定是（ ）
a．，《恆成立； b．，≤恆成立；
c．，≥成立； d．，《恆成立.
2、已知函式的零點為, 則所在區間為（ ）
abcd．
3、已知函式為非零常數，則的影象滿足（ ）
a．關於點對稱b．關於點對稱
c．關於原點對稱d．關於直線軸對稱
4、函式，如果，則的值是（ ）
a．正數b．負數c．零d．無法確定
5、若、, 則是的（ ）
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不是充分也不是必要條件
6、設是定義在上的週期為2的偶函式,當時,,則在區間內零點的個數為（ ）
a．2013 b．2014 c．3020 d．3019
7、設集合≥，≤≤，如果有，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． cd．
8、在r上定義運算：對、，有，如果，則的最小值是（ ）
a． b． c． d．
二、填空題（每題5分，共30分）
9、不等式的解集是
10、已知是r上的奇函式，當時，，則
11、已知函式且，如果對任意，都有成立, 則的取值範圍是
12、如果方程有解，則實數的取值範圍是
13、已知函式，則函式過點的切線方程為
14、若對任意，，（、）有唯一確定的，與之對應，稱，為關於、的二元函式. 現定義滿足下列性質的二元函式為關於實數、的廣義「距離」；
(1)非負性:時取等號；
(2)對稱性:；
(3)三角形不等式:對任意的實數z均成立.
今給出三個二元函式,請選出所有能夠成為關於、的廣義「距離」的序號:
能夠成為關於的、的廣義「距離」的函式的序號是
三、解答題（15、16題每題12分，17至20題每題14分，共80分）
15、已知函式
(1)求的最大值和最小正週期；
(2)設,,求的值.
16、某單位用2160萬元購得一塊空地，計畫在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方公尺的樓房.經測算，如果將樓房建為x (x≥10)層，則每平方公尺的平均建築費用為560+48x（單位：元）.
為了使樓房每平方公尺的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？
（注：平均綜合費用＝平均建築費用+平均購地費用，平均購地費用＝）
17、已知函式滿足對，都有，且方程有重根.
（1）求函式的解析式；
（2）設，求數列的前項和.
18、已知函式；
（1）如果函式有兩個極值點和，求實數、的值；
（2）若函式有兩個極值點和，且∈，∈， 求的最小值.
19、已知函式, 函式的圖象在點處的切線平行
於軸.(1)確定與的關係；
(2) 當時，求函式的單調區間；
（3）證明:對任意,都有成立.
20、已知，函式，.（其中e是自然對數的底數）
（1）當時，求函式的極值；
（2）令，若函式在區間上是單調函式，求的取值範圍.
參***：
dcab bcab
9、 10、1 11、≤ 12、或≤
13、和 14、①
15、解:(1)
且的最大值為
最小正週期
(2), 又, ∴
16、解：設樓房每平方公尺的平均綜合費為元，依題意有，
故 ≥
等號成立，當且僅當，即
答：為了樓房每平方公尺的平均綜合費最少，該樓房應建為15層.
17、解：（1）由對，都有，∴函式影象的對稱軸為，
又方程有重根，即有重根，
∴ ， ∴
故（2）由
18、解：（1）由，故，
函式有兩個極值點-1和2，
故∴，.
經檢驗，，滿足題意.
（2）由函式有兩個極值點和，且，
故有， 即
畫出上述不等式組的可行域如右圖：
又表示點到點距離的平方.
而點到可行域的點的最小距離是點a到點的距離.
所以, 的最小值是，此時，，；
經檢驗，，滿足題意.
19、解:(1)依題意得,則
由函式的圖象在點處的切線平行於軸得:
∴ （2）由，
令得或,
故、隨變化如下表：
故函式在上單調遞增,在單調遞減，在上單調遞增.
(3)證法一:由(2)知當時,函式在單調遞增,
,即,令,則,
即 證法二:構造數列,使其前項和,
則當時,,
顯然也滿足該式,
故只需證
令,即證,記,
則, 在上單調遞增,故,
∴成立, 即
證法三:令,
則 令則,
記 ∵∴函式在單調遞增,
又即,∴數列單調遞增,又,∴
20、解：（1）由1分
令，解得2分
故、隨變化如下表：
又，故函式有極小值6分
（2）由，
令， 則，
，故在區間上是減函式,
從而對，≥.
1 當≥，即≤時，≥，∴在區間上增函式.
故≤，即≤，
因此，故在區間上是減函式, ≤滿足題意.
2 當<，即》時，由，，，
且y =在區間的影象是一條連續不斷的曲線
故y =在區間有唯一零點，設為，
，在區間上隨變化如下表：
故有，而，
且y =在區間的影象是一條連續不斷的曲線，
故y =在區間有唯一零點，設為，
即y =在區間有唯一零點，
，在區間上隨變化如下表：
即函式在區間遞減，在區間遞增，矛盾，>不符題意，
綜上所述：的取值範圍是.
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