閘北區2014學年度第一學期高三數學（理科）期末練習卷
考生注意：
1. 本次測試有試題紙和答題紙，解答必須在答題紙上，寫在試題紙上的解答無效．
2. 答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、學校、考試號，以及試卷型別等填寫清楚，並在規定區域內貼上條形碼．
3. 本試卷共有16道試題，滿分150分．考試時間120分鐘．
一、填空題（54分）本大題共有9題，要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果，每
個空格填對得6分，否則一律得零分．
1．若複數（是虛數單位）是純虛數，則實數 ．
2．若為上的奇函式，當時，，則 ．
3．設定點，若動點在函式影象上，則的最小值為 ．
4．用數字「」組成乙個四位數，則數字「」都出現的四位偶數有個．
5．設，圓的面積為，則 ．
6．在中，，是斜邊上的兩個三等分點，則的值為
7．設函式，若存在同時滿足以下條件：①對任意的，都有成立；②，則的取值範圍是
8．若不等式的解集是區間的子集，則實數的取值範圍為 ．
9．關於曲線，給出下列四個結論：
①曲線是雙曲線關於軸對稱；
③關於座標原點中心對稱； ④與軸所圍成封閉圖形面積小於2．
則其中正確結論的序號是注：把你認為正確結論的序號都填上）
二、選擇題（18分）本大題共有3題，每題都給出四個結論，其中有且只有乙個結論是正確
的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號塗黑，選對得6分，否則一律得零分.
10．「」是「關於的二元一次方程組有唯一解」的 【 】
a．必要不充分條件b．充分不必要條件；
c．充要條件d．既不充分也不必要條件．
11．已知等比數列前項和為，則下列一定成立的是
a．若，則b．若，則；
c．若，則d．若，則．
12．對於集合，定義了一種運算「」，使得集合中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素是集合對運算「」的單位元素．例如：，運算「」為普通乘法；存在，使得對任意，都有，所以元素是集合對普通乘法的單位元素．
下面給出三個集合及相應的運算「」：
①，運算「」為普通減法；
②，運算「」為矩陣加法；
③（其中是任意非空集合），運算「」為求兩個集合的交集．
其中對運算「」有單位元素的集合序號為
abcd．②③．
三、解答題（本題滿分78分）本大題共有4題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對
應的題號）內寫出必要的步驟．
13．（本題滿分18分，第（1）小題9分，第（2）小題9分）
請仔細閱讀以下材料：
已知是定義在上的單調遞增函式．
求證：命題「設，若，則」是真命題．
證明因為，由得．
又因為是定義在上的單調遞增函式，
於是有． ①
同理有． ②
由① + ②得．
故，命題「設，若，則」是真命題．
請針對以上閱讀材料中的，解答以下問題：
（1）試用命題的等價性證明：「設，若，則：」是真命題；
（2）解關於的不等式（其中）．
14．（本題滿分20分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
如圖，在海岸線一側有一休閒遊樂場，遊樂場的前一部分邊界為曲線段，
該曲線段是函式，的影象，影象的
最高點為．邊界的中間部分為長千公尺的直線段，且．遊樂場的後一部分邊界是以為圓心的一段圓弧．
（1）求曲線段的函式表示式；
（2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千公尺，現準備從入口修一條筆直的景觀路到，求景觀路長；
（3）如圖，在扇形區域內建乙個平行四邊
形休閒區，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外乙個頂點在圓弧
上，且，求平行四邊形休閒區面積的最大值及此時的值．
15．（本題滿分20分，第（1）小題6分，第（2）小題7分，第（3）小題7分）
已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓過點
且與拋物線有乙個公共的焦點．
（1）求橢圓方程；
（2）斜率為的直線過右焦點，且與橢圓交於兩點，求弦的長；
（3）為直線上的一點，在第（2）題的條件下，若△為等邊三角形，求直
線的方程．
16．（本題滿分20分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）
設數列滿足：①；②所有項；③．
設集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說，是
數列中滿足不等式的所有項的項數的最大值．我們稱數列為數列的
伴隨數列．例如，數列1,3,5的伴隨數列為1,1,2,2,3．
（1）若數列的伴隨數列為1,1,1,2,2,2,3，請寫出數列；
（2）設，求數列的伴隨數列的前100之和；
（3）若數列的前項和（其中常數），試求數列的伴隨
數列前項和．
理科答案
一．填空題：
二．選擇題：
三．解答題：
13. 解：（1）原命題與原命題的逆否命題是等價命題.
原命題的逆否命題：設，若，則： ……4分
下面證明原命題的逆否命題為真命題：
因為，由得1分
又是定義在上的單調遞增函式
所以…………（11分
同理有：…………（21分
由（1）+（2）得1分
所以原命題的逆否命題為真命題
所以原命題為真命題1分
（2）由（1）的結論有：，即3分
①當時，即時，不等式的解集為2分
②當時，即時，不等式的解集為： ………2分
當時，即時，不等式的解集為2分
14. 解：（1）由已知條件，得1分
又2分 又∵當時，有2分
∴ 曲線段的解析式為1分
（2）由得
2分又…2分
1分∴ 景觀路長為千公尺 ……………1分
(3)如圖1分
作軸於點，在中， ……………1分
在中1分
∴ ……………1分
1分2分
當時，即時：平行四邊形面積最大值為…………………1分
15.解（1）由題意得2分
又， 得，，解得或（捨去2分
則1分 故橢圓方程為1分
（2）直線的方程為1分
聯立方程組
消去並整理得3分
設，．故1分
則． …2分
（3）設的中點為．
可得1分
1分直線的斜率為，又，
所以2分
當△為正三角形時，，
可得1分
解得1分
即直線的方程為，或1分
16. 解：（1）1,4,76分
（2）由，得
∴ 當時1分
當時1分
當時1分
當時1分
當時1分
∴ …………1分
（31分
當時，2分由得
因為使得成立的的最大值為，
所以 ……1分
當時：1分
當時：1分
當時：1分
所以1分
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